WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Eigenwaarde (geen)

Hallo,
Na alle opmerkingen over de berekening van de eigenwaarden nu een vraag wanneer een matrix geen eigen waarden bevat:
Wanneer heeft de matrice [a,b;c,d] voor welke waarden van a,b,c,d zijn er geen eigen waarden, uitgedrukt in a,b,c,d?

Ik ben aan het rekenen gegaan met voor de karakteristieke verg. als de determinant=0 en als oplossing gekozen als dus de determinant niet 0 is.

Is dit goed en wat worden dan de waarden voor a,b,c,d?

alvast bedankt en groet,
Kees van de Wege
Kees v
Student hbo - woensdag 12 mei 2004

Antwoord

Hoi Kees,

mijn eerste reactie op jouw vraag zou zijn: elke matrix heeft minstens één eigenwaarde, hooguit kan het zo zijn dat in het geval van een meervoudige eigenwaarde slechts één bijbehorende eigenvector gevonden kan worden, zoals bijvoorbeeld het geval is bij:
, die a als tweevoudig nulpunt van de karakteristieke vergelijking heeft, maar alleen als eigenvector.

Ik neem echter aan dat je geen complexe eigenwaarden wilt hebben, en het kan gebeuren dat de beide eigenwaarden van
A =
complex zijn. Om dat uit te werken ge je inderdaad verder op de door jou ingeslagen weg:
het karakteristieke polynoom is det(A-lI) = l² - (a+d)l + ad-bc = (l-¹/₂(a+d))² - ¹/₄(a-d)²-bc.
Ik laat het aan jou om hieruit de voorwaarde voor a,b,c en d te vinden waaronder de eigenwaarden l complex zijn.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

P.S. Het andere geval: dat er maar één in plaats van twee eigenvectoren zijn, wordt bereikt als ¹/₄(a-d)²+bc=0. In dat geval is l=¹/₂(a+d) dubbel nulpunt van het karakteristiek polynoom. Als
A =
dan is elke vector eigenvector van A en anders is er in dit geval maar één eigenvector.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 13 mei 2004