WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Regelmatige negenhoek

Dit is een reactie op vraag 6768

Ik snap het antwoord op deze vraag niet volledig...
waarom moetje dit complexe getal tot de negende macht verheffen? omdat de vraag over een negenhoek gaat natuurlijk :o), maar kan u mij de volledige redenering eens geven?
bedankt!
Julie
Julie
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 9 april 2004

Antwoord

Als je een complex getal tot de negende macht verheft, dan wordt de modulus van dat getal ook tot de negende macht genomen, en het argument wordt negen keer zo groot.
Ter illustratie: als je het getal z = 2(cos10° + i.sin10°) hebt, dan is de modulus gelijk aan 2 en de argumentswaarde is 10°.
De negende macht wordt bij dit voorbeeld het complexe getal z = 512.(cos90° + i.sin90°) = 512.i
Deze regel heb je vermoedelijk wel gezien onder de naam: de stelling van de Moivre.

Als de modulus van een complex getal gelijk is aan 1 (dus het getal ligt op de eenheidscirkel), dan blijft die ligging hetzelfde, want 1⁹ = 1.
Het getal uit de eerder gestelde vraag is -¹/₂√3 + ¹/₂i.
De modulus is dan 1, want (-¹/₂√3)² + (¹/₂)² = 1.
Het getal heeft een argument dat gelijk is aan 150° (uit de goniometrie weet je misschien dat sin150° = ¹/₂ en cos150° = -¹/₂√3)
Die hoek van 150° wordt door de machtsverheffing nu 9 keer zo groot, dus 1350°.
Hiervan mag je veelvouden van 360° aftrekken, want daarmee draai je de boel letterlijk één cirkelgang terug.
Je houdt over: 1350° - 3x₃60° = 270°, en dat betekent dat je op het negatieve deel van de y-as zit.
Gecombineerd met de modulus = 1 moet het dus wel het getal -i zijn.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 9 april 2004