WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Pythagoras

Waar vind ik de drietallen van Pythagoras op internet voor mijn werkstuk?
Nikki
Leerling bovenbouw vmbo - vrijdag 22 maart 2002

Antwoord

Of je ze ergens kunt vinden weet ik niet, maar het is toch veel leuker om ze zelf te maken, lijkt me. Dat gaat als volgt.
Eerst neem je twee getallen p en q waarvoor de drie volgende eisen moeten gelden:
p is groter dan q,
één van de twee getallen is oneven en het andere even,
je mag de twee getallen niet beide kunnen delen door eenzelfde getal.
Ingewikkeld? Nee hoor,dat valt wel mee. Je kunt denken aan getallen als (p = 4 en q = 3) of (p = 8 en q = 3) of (p = 5 en q = 4).
Niet goed is bijvoorbeeld p = 15 en q = 6, want nu kun je ze alletwee nog delen door 3, en dat mag niet volgens de derde eis. De twee andere eisen kloppen overigens wel.
Goed, als je een keuze gemaakt hebt voor p en q, dan hoef je alleen nog maar de volgende getallen te berekenen.
x = 2.p.q en y = p² - q² en z = p² + q²
Als het nu goed is, dan geldt de formule x² + y² = z²
Ik geef je nog een paar voorbeeldjes:

p = 7 en q = 2 geven x = 28 en y = 45 en z = 53
p = 8 en q = 1 geven x = 16 en q = 63 en z = 65
p = 6 en q = 1 geven x = 12 en y = 35 en z = 37
p = 7 en q = 6 geven x = 84 en q = 13 en z = 85

Met je rekenmachine kijk je maar even na of Pythagoras klopt.
Deze methode was al bekend in de oudheid, en daarmee had men bijv. al combinaties gevonden als x = 4961 en y = 6480 en z = 8161, en die bedenk je niet door even wat te proberen.
Tot slot nog even iets over de derde eis die aan de p en q werden gesteld. Als je die eis niet zou stellen, dan levert de methode wel goede drietallen x, y en z op, maar dan zijn ze soms niets anders dan een veelvoud van elkaar.
Je zou dan vinden 3² + 4² = 5² , maar ook 6² + 8² = 10² en 9² + 12² = 15². Mooie drietallen natuurlijk, maar als je goed kijkt dan zie je dat ze eigenlijk gewoon hetzelfde zijn.
De beschreven methode heeft dus als voordeel dat je uitsluitend écht verschillende drietallen vindt. Die noemt men wel primitieve drietallen.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 22 maart 2002