WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hyperbolische meetkunde

hoe kan je hyperbolische meetkunde in verband brengen met vlakke meetkunde?
ctje
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 5 februari 2004

Antwoord

De 'gewone' meetkunde in het platte vlak wordt meestal aangeduid als euclidische meetkunde.
Deze meetkunde is gebaseerd op een aantal axioma's. Euclides deed dat als eerste; hij gebruikte 5 axioma's.
Zie bijvoorbeeld onderstaande link.

Het 5e axioma (van Euclides) luidt in 'moderne' terminologie:
Door een punt buiten een rechte lijn gaat precies één rechte lijn die met die rechte lijn evenwijdig is.

Je krijgt de zogenoemde hyperbolische meetkunde als je het 5e axioma (van de euclidische meetkunde) vervangt door:
Door een punt buiten een rechte lijn gaan twee of meer lijnen die met die rechte lijn evenwijdig zijn.

Dan zitten we misschien nog een klein beetje met wat dan evenwijdige lijnen zijn. Laten we maar zeggen (definiëren) dat dat lijnen zijn die elkaar niet snijden.
Een gevolg van dat nieuwe 5e axioma is oa., dat stellingen die in de euclidische meetkunde onafhankelijk zijn van het 5e axioma (van Euclides) ook gelden in de hyperbolische meetkunde. En je begrijpt dan ook, dat als die afhankelijkheid er wél is, de euclidische stelling niet zal gelden.
Een voorbeeld van dit laatste: in de hyperbolische meetkunde is de som van de hoeken van een driehoek kleiner dan een gestrekte hoek.

Op internet is heel wat te vinden over 'hyperbolic geometry', met namen als 'Gauss', 'Bolyai' en 'Lobachevsky'.
En ook binnen WisFaq wel wat. Klik hier voor enkele links.
Zie De Elementen van Euclides

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 5 februari 2004