|
|
\require{AMSmath}
Poolvergelijking
hoe bereken ik de oppervlakte ingesloten door de kromme gegeven in poolvergelijking $\rho$= √(cos(2$\theta$))
ik weet dat ik hiervoor een formule moet gebrijken maar ik bekom steeds een foute uitkomst
kan u me de uitwerking geven?
bedankt
julie
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 3 januari 2004
Antwoord
Hallo julie,
Ik weet niet welke formule je moet gebruiken,maar er is wel iets anders wat je kan doen: De carthetische coordinaten van de kromme luidt: x[$\theta$]=$\rho$·cos[$\theta$]=√cos[2$\theta$]·cos[$\theta$] y[$\theta$]=$\rho$·sin[$\theta$]=√cos[2$\theta$]·sin[$\theta$] Er geldt x2+y2=cos[2$\theta$],er geldt ook x2-y2=cos[2$\theta$]·(cos2[$\theta$]-sin2[$\theta$]])=cos2[2$\theta$]].
Je heb 2 vergelijkingen voor x,y en die moet je oplossen naar y: x2-y2=(x2+y2)2=x4+2·x2·y2+y4 alles naar een kant: y4+y2·(2·x2+1)+(x4-x2)=0 subtitutie p=y2 en daarna abc formule levert: y2=√((-2x2-1±√(8·x2+1))/2) de enige 2 mogelijkheden zijn: y[x]=±√((-2x2-1±√(8·x2+1))/2).
De grafiek van deze kromme is symmetrisch t.o.v. de x-as(vanwege de plus min in de zo net verkregen functie) en is symmetrisch t.o.v. de y-as(vanwege y[x]=y[-x]).Vanwege deze eigenschappen kunnen we de oppervlakte onder de grafiek van de recther boven kwadrant berekenen en daarna dit met vier vermenigvuldigen om de totale oppervlakte te berekenen. De x-as varieert in de rechter kwadrant tussen [0,1]. Wat we nu kunnen proberen is dus de integraal te berekenen:
$\int{}$√((-2x2-1±√(8·x2+1))/2)·dx voor x tussen [0,1] Dit lijkt op zich ingewikkeld maar ter herrinnering,x=√cos[2$\theta$]·cos[$\theta$].Dus voor x dit te subtitueren krijg je de oorspronkelijke y=√cos[2$\theta$]·sin[$\theta$]. dx=(sin[$\theta$]·√(cos[2$\theta$])-sin[2$\theta$]·cos[$\theta$]/√(cos[2$\theta$))·d$\theta$=-d$\theta$·sin$\theta$·cos[2$\theta$]+sin[2$\theta$]·cos[$\theta$])/√(cos[2$\theta$])=-sin[$\theta$+2$\theta$]/√(cos[2$\theta$])·d$\theta$=-sin[3$\theta$]/√(cos[2$\theta$)·d$\theta$.
De rechter gedeelte van de kromme wordt doorlopen tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4. Dus de integraal wordt na subtitutie: $\int{}$-sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$ tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4.
1 keer partiele integratie levert: -$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=-([-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]-$\int{}$-cos[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]·d$\theta$. 2 keer partiele integratie: -$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$= ([-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+([sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]]-$\int{}$-9·sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$. De laatste naar de andere kant brengen en: 8·$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=[-cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+[sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]] en dus
-$\int{}$sin[$\theta$]·sin[3$\theta$]·d$\theta$=(-[cos[$\theta$]·sin[3$\theta$]]+[sin[$\theta$]·3·cos[3$\theta$]])/-8 tussen $\theta$=0 en $\theta$=$\pi$/4. De rest is gewoon invullen: Invullen levert 0.25 Dit met 4 vermenigvuldigen levert als oppervlakte ingesloten door de kromme: 1 op.
CW
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 januari 2004
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|