WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gödels stelling

Ik weet dat Gödel bewezen heeft dat iets klopt (een stelling) door uit de wiskunde te stappen en vervolgens bewezen heeft dat ze niet bewezen kan worden in de wiskunde. Maar nu is mijn vraag wat is die stelling?
Filip
2de graad ASO - dinsdag 4 november 2003

Antwoord

Ik waag een poging om een ingewikkeld werk uit de (meta-)wiskunde te parafraseren.

Door de aximomatische opbouw van de meetkunde (begonnen met Euclides) heeft men in de loop der eeuwen gedacht, dat ook andere takken van de wiskunde via axioma's konden worden vastgelegd. Uit die axioma's zouden dan (zoals in de meetkunde - en daar was de axiomatische basis smal, zeg een 20-tal axioma's) vele (zo niet oneindig veel) eigenschappen van een wiskundig systeem kunnen worden afgeleid.
Aan het eind van de 19e en in de eerste 30 jaar van 20e eeuw heeft die formalisering inderdaad voor een groot aantal takken van wiskunde plaats gevonden (oa. via de notie van verzamelingen en de logica).

In 1931 publiceerde Gödel zijn (46 pagina's tellende) artikel "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme".
En daarin toonde hij aan, dat het onmogelijk was het oneindige geheel van ware proposities (stellingen) binnen een bepaald wiskunde-onderzoeksterrrein systematisch te ontwikkelen.
Hij bewees dat het onmogelijk is om de interne logische consistentie (het niet-strijdig zijn) van een zeer grote klasse van deductieve systemen (systemen gebaseerd op het geheel van axioma's en stellingen) aan te tonen. Gödel deed dit voor de rekenkunde.
De stelling van Gödel is in het Nederlands bekend onder de naam 'Onvolledigheidsstelling'.

Het bewijs is bijzonder gecompliceerd. Het komt erop neer dat er een codering wordt geïntroduceerd voor alle gebruikelijke rekenkundige formuleringen en relaties via zogenoemde Gödel-getallen en samenstellingen daarvan met priemgetallen. Gödel laat dan zien, dat een rekenkundige formule F aan een uitspraak als 'de formule F is niet bewijsbaar' kan worden gekoppeld.
En dat leidt dan via een zeer ingewikkelde redenering tot een tegenstrijdigheid.

Het 'buiten de wiskunde treden' zoals je dat noemt, heeft de fraaie naam: meta-mathematica. Je doet dan uitspraken 'over' de wiskunde, uitspraken over tekens, over soorten en rangschikkingen van tekens wanneer ze worden samengevoegd tot langere ketens (formules) en over de relaties tussen die formules.
Een voorbeeld
[] '2 + 3 = 5' is een uitdrukking uit de rekenkunde.
[] 2 + 3 = 5 is een rekenkundige formule' is een uitspraak over de hierboven staande uitdrukking.
Gödels werk behoort daardoor inderdaad tot de meta-mathematica.
Een uitspraak die volgens Gödel's stelling niet bewezen kan worden is: 'De rekenkunde is consistent'.
Zie Kurt Gödel

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 4 november 2003