WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking - karakteristieke vergelijking

Ik moet de algemene oplossing bepalen van de volgende DV
y" + y = 2*sin(t).
Op sosmath.com vind ik dat de oplossing van de vorm y(t)= A*cos(t)+B*sin(t) moet zijn.
Maar als ik dit invul in de DV dan krijg ik 2*sin(t)=0 en kan ik A en B dus niet bepalen.
Wat doe ik verkeerd??

Jan
Student universiteit - dinsdag 21 oktober 2003

Antwoord

De wortels van de karakteristieke vergelijking zijn i en -i. Daardoor is de algemene oplossing van de HOMOGENE (dus zonder rechterlid) vergelijking

y_h(t) = A cos(t) + B sin(t)

In de theorie heb je gezien dat de algemene oplossing van de NIET-HOMOGENE vergelijking bestaat uit die van de homogene vergelijking + een particuliere oplossing (om het even welke, als ze maar lineair onafhankelijk is van de homogene oplossing) van de volledige vergelijking, dus

y(t) = y_h(t) + y_p(t)

Om een particuliere oplossing te vinden bestaan er verscheidene technieken, zeker als het rechterlid een som is van termen van de vorm exp(at), met a een eventueel complexe constante. Er treden evenwel complicaties op als het complexe getal dat je met die termen kan associeren een wortel is van de karakteristieke vergelijking. En dat is hier het geval:

sin(t) = (1/(2i)).(exp(it)-exp(-it))

en zowel i als -i zijn wortel van de karakteristieke vergelijking. De particuliere particuliere oplossing die je bekomt zal al in de oplossing van de homogene vergelijking zitten en dus niks nieuws biedt. Je hebt dus een andere particuliere oplossing nodig.

Aangezien i en -i enkelvoudige wortels zijn, zou het moeten volstaan een oplossing y_p = t.(Asin(t)+Bcos(t)) voorop te stellen. Lukt het zo?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 21 oktober 2003

Re: Differentiaalvergelijking - karakteristieke vergelijking