WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs onafhankelijkheid

Ik heb een probleem met volgend bewijs. Kan iemand dit even verduidelijken? Ik geef even het volledige bewijs, onderaan staat vermeld welke stap ik niet zie.

De componenten van een tweedimensionale kansvector Z = (X,Y) zijn onafhankelijk als en slechts als de verdelingsfunctie van Z het product is van de marginale verdelingsfuncties.
Bewijs: Veronderstel dat X en Y onafhankelijk zijn. Door in P((a₁Xb₁)Ç(a₂Yb₂))=P(a₁Xb₁) · P(a₂Yb₂) de limiet te nemen voor a₁®-¥ en a₂®-¥ volgt dat:
F_Z(b₁,b₂) = F_X(b₁)F_Y(b₂)

Omgekeerd, veronderstel dat voor alle b₁,b₂ Î,
F_Z(b₁,b₂) = F_X(b₁)F_Y(b₂)

dan geldt:
P(a₁Xb₁),(a₂Yb₂)
= P(Xb₁,Yb₂) - P(Xb₁,Ya₂) - P(Xa₁,Yb₂) + P(Xa₁,Ya₂)
=F_Z(b₁,b₂) - F_Z(b₁,a₂) - F_Z(a₁,b₂) + F_Z(a₁,a₂)
=F_X(b₁)F_Y(b₂) - F_X(b₁)F_Y(a₂) - F_X(a₁)F_Y(b₂) + F_X(a₁)F_Y(a₂)
=(F_X(b₁) - F_Y(a₁)) · (F_Y(b₂) - F_Y(a₂))
=P(a₁Xb₁) · P(a₂Yb₂)
en X en Y zijn dus inderdaad onafhankelijk.

Ik heb het nu voor de volledigheid even helemaal gegeven, maar mijn probleem situeert zich in volgende stap:
P(a₁Xb₁),(a₂Yb₂)
= P(Xb₁,Yb₂) - P(Xb₁,Ya₂) - P(Xa₁,Yb₂) + P(Xa₁,Ya₂)

Hoe kom je daarbij?
S
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 16 augustus 2003

Antwoord

Het gaat om een tweedimensionale kansvector. Het gedeelte, dat je niet snapt is overigens niet zo moeilijk. Je kunt dat zien door gewoon de bijbehorende gebieden in het x,y vlak te tekenen.
Het linkerlid is een vierkant tussen a ₁ en b₁ voor de x en tussen a₂ en b₂ voor y
Het rechterlid is voor xb₁ en voor yb₂ - wat je teveel hebt (tekenen dus).
Die volgende twee termen met dat min teken trekken af wat je teveel hebt de laatste term met het plusteken komt omdat je bij de mintekens een stuk dubbel afgetrokken hebt hetgeen je vervolgens weer moet bijtellen.
Probeer dus de bijbehorende gebieden te tekenen en te kijken wat er gebeurt. Met deze toelichting lukt dat vast. Suc6

Met vriendelijke groet

JaDeX

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 16 augustus 2003