WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Dobbelstenen in Risk

Je mag zelf weten met hoeveel dobbelstenen je wilt aanvallen (1 2 of 3). Alle stenen tellen wel mee, de tegenstander mag ook zelf beslissen met hoeveel stenen zij wil verdedigen. Je legt dan de hoogste stenen tegen elkaar en de hoogste wint. Bij een gelijke stand wint de verdediger.
Voorbeelden

Aanvaller:1,1 en 6
Verdediger:3

De aanvaller valt hier met 3 legers aan. De verdediger verdedigt met 1 leger. De aanvaller wint overduidelijk 6 > 3.

Aanvaller:2,2,5
Verdediger:3,4
De aanvaller valt weer aan met 3 legers. De verdediger verdedigt met 2. Beide verliezen 1 leger. 5 > 4 maar 2 < 3.

Aanvaller:1,1,4
Verdediger:1,6
De aanvaller valt weer aan met 3. De verdediger verdedigt met 2. De aanvaller verliest 2 legers. 4 < 6 en 1 = 1 (Bij gelijke stand WINT de verdediger.

Aanvaller:6
Verdediger:5,4
De aanvaller valt aan met 1. De verdediger verdedigt met 2. De verdediger verliest 1 leger, ondanks de verdediging met 2 stenen. 6 > 5 (de 4 doet niet mee)

Aanvaller:3,3
Verdediger:3,4
De aanvaller valt aan met 2 en de verdediger verdedigt met 2. De aanvaller verliest wederom 2 legers. 3 < 4 en 3 = 3.

Wie kan mij helpen met je probleem van risk? Wanneer kan je het beste met 3 dobbelstenen aanvallen en wannneer met 2 verdedigen?
Alexan
Iets anders - zondag 20 januari 2002

Antwoord

Om te beginnen met de spelregels van Risk:

1. Je mag aanvallen met hoogstens 3 dobbelstenen, maar je moet 1 aanvallend leger méér bezitten dan het aantal dobbelstenen waarmee je aanvalt.

2. De verdediger mag na de aanvalsworp kiezen of hij met 1 of 2 dobbelstenen verdedigt, maar als er nog maar 1 leger verdedigt mag er slechts met 1 dobbelsteen gegooid worden, én er mag niet met meer stenen worden verdedigd dan waarmee is aangevallen.

Met behulp van de verwachtingswaarde kunnen we wel iets zeggen over de beste strategie voor de verdediging en aanval (het is wel een kwestie van veel en geduldig tellen, hopelijk zitten er geen foutjes in onderstaande resultaten).

Eindconclusies:

1. Verdedigen met 2 stenen is alleen verstandig als de aanvaller géén (5,4), (5,5), (6,4), (6,5) of (6,6) gegooid heeft.

2. Aanvallen met 3 stenen is het gunstigst. Als dit niet mogelijk is moet alleen met 2 stenen worden aangevallen als de verdediging maar met 1 kan verdedigen. Val dus met 1 steen aan als de verdediging met 2 zou kunnen verdedigen.

Hieronder enige berekeningen, alle details vermelden zou veel te veel ruimte vergen.

Eerst het geval dat er wordt aangevallen met 1 dobbelsteen. Geen probleem: verdedigen met 1 steen.

Dan de aanval met 2 dobbelstenen. De vraag is of je met 1 of 2 stenen gaat verdedigen.

Een tabel, waarin je de verwachtingswaarde ziet van het aantal legers dat de verdediging in een beurt zal winnen:

Aanval Verd.1 Verd.2

6,6 -4/6 -48/36
6,5 -4/6 -42/36
6,4 -4/6 -32/36
6,3 -4/6 -18/36 : dus met 2 verdedigen
6,2 -4/6 0 : dus met 2 verdedigen
6,1 -4/6 22/36 : dus met 2 verdedigen
5,5 -2/6 -24/36
5,4 -2/6 -14/36
5,3 -2/6 0 : dus met 2 verdedigen
5,2 -2/6 positief : dus met 2 verdedigen
5,1 -2/6 positief : dus met 2 verdedigen
4,4 0 0 : dus met 2 verdedigen
….

W = aantal legers winst van de verdediging; V = aantal ogen van de verdediging.

Voorbeeld berekening: stel de aanval gooit 5,5.

Verdedigen met 1 steen geeft E(W) = P( V = 5 of 6) * 1 + P(V < 5)*-1 = 2/6*1 + 4/6*-1 = -2/6

Verdedigen met 2 stenen geeft E(W) = P(V = {5,5},{5,6},{6,5} of {6,6})*2 + P(hoogste aantal ogen < 5)*-2 = -24/36 .

Je ziet dat verdedigen met 2 stenen alleen verstandig is als de bijbehorende verwachtingswaarde gunstiger is: dit is altijd zo, behalve als (5,4), (5,5), (6,4), (6,5) of (6,6) gegooid is.

Een aanval met 3 dobbelstenen: kijk naar de twee dobbelstenen met de hoogste ogen en beslis net zoals hierboven of je verdedigt met 2 of 1 steen.

Vanuit de aanvaller gezien: bereken de verwachtingswaarde van het aantal legers (A) dat hij wint.

Bij 1 dobbelsteen: E(A) = -1/6 ≈ -0,17 (tja, de verdediger wint ook bij gelijke ogen),

bij 2 dobbelstenen, en bij optimale verdediging: E(A) = -157/324 ≈ -0,48 ,

en bij 3 dobbelstenen, en bij optimale verdediging: E(A) = +61/648 ≈ +0,09.

Dus als het kan moet de aanvaller met 3 stenen aanvallen, met 2 stenen aanvallen is alleen verstandig als de verdediging maar met 1 kan verdedigen.

Zie ook PO wiskunde A1 kansspel Risk

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 10 maart 2002

Re: Dobbelstenen in Risk