WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Halverings- en verdubbelingsformule

Hallo,

Ik mijn lesstof staat: sin(2x)=2sin(x)cos(x). Er wordt vanuit gegaan dat ik deze formule ken. Maar helaas, dit zegt mij niets. Is dit de halveringsformule en zo ja, hoe werkt die? Hoe doe ik bv hetzelfde voor sin(3x) en sin(4x)?
Hetzelfde geldt voor de verdubbelingsformule. Kunt u mij wellicht uitleg geven? Bijvoorbaat dank.

Met vriendelijke groet,
George
Ouder - maandag 28 april 2003

Antwoord

Hallo George,

Deze formule is een van de verdubbelingsformules. Hij heet zo omdat de hoek x is verdubbeld tot 2x. Er is ook een verdubbelingsformule voor de cosinus:
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)

Deze formules volgen uit de som-formules:
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(u)
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)

Stel y en x zijn hetzelfde dan kun je schrijven:
sin(x+y)=sin(2x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)=2sin(x)cos(x)
cos(x+y)=cos(2x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos²(x)-sin²(x)

en zie daar: de verdubbelingsformules.

Overigens zijn er ook verschilformules cos(x-y) en sin (x-y), maar die kun je waarschijnlijk zelf wel afleiden door in de somformule y te vervangen door -y, en te bedenken dat cos(-y)=cos(y) en sin(-y)=-sin(y).

Het bewijs van de somformules is wat minder eenvoudig, en die zal ik hier ook niet geven.

Tenslotte zal ik de cosinus-verdubbelingsformules in twee andere vormen schrijven (herinnering: cos²(x)+sin²(x)=1):
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)=cos²(x)+sin²(x)-2sin²(x)=1-2sin²(x)
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)=2cos²(x)-(cos²(x)+sin²(x))=2cos²(x)-1

Al deze formules zijn handig voor het herleiden van goneometrische formules, zoals:
y=cos(2x)+2sin²(x) Û
y=(cos²(x)-sin²(x))+2sin²(x) Û
y=cos²(x)+sin²(x)=1

Er bestaan geen verdriedubbelingsformules, maar die kun je wel maken met een truukje:
je wilt, zo blijkt uit je vraag, sin(3x) ook in een andere vorm schrijven. Dan vervang je x door x=(2/3)y. Er komt dan te staan:
sin(3(2/3)y)=sin(2y)=2sin(y)cos(y)
Nu weer in de 'x-taal' (y=(3/2)x):
sin(3x)=2sin((3/2)x)cos((3/2)x)

Algemeen geldt sin(ax)=2sin((a/2)x)cos((a/2)x). Hetzelfde kun je doen voor de cosinus als je wilt. De vraag is echter of je er in de praktijk wat aan hebt. Het handige van de verdubbelingsformules is dat je mooie 'schone' termen van de sinus en cosinus krijgt (eventueel in het kwadraat), zonder die rare factor 3/2 voor de x. Dit zorgt ervoor dat je vaak dingen kunt wegstrepen. Het is mij nog nooit overkomen dat ik een sin((3/2)x) wilde wegstrepen.

Ik hoop dat je vraag voldoende is beantwoord,

Casper

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 28 april 2003

Re: halverings- en verdubbelingsformule

Re: Halverings- en verdubbelingsformule