De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Reageren...

Re: Vraagstukken

Hoe bereken je deze formule eigenlijk? Als ik dit zelf probeer met lage getallen voor r klopt het inderdaad, en ik neem aan voor grotere r ook :), maar ik snap niet waarom?

Antwoord

Het probleem waar je mee zit valt onder de zogeheten 'occupancy-problems', misschien te vertalen met 'bezettingsproblemen'.
Het gaat hier over het aantal verdelingen van r (niet te onderscheiden) voorwerpen over n verschillende vakjes.
Eerst maar een concreet voorbeeld.
Stel dat je 8 voorwerpen wilt verdelen over 5 vakjes, ofwel r = 8 en n = 5.
Een bepaalde verdeling kan nu worden voorgesteld met behulp van sterretjes en streepjes. Zo kun je bijvoorbeeld hebben: |*|**||**|***|
Je ziet dat het eerste vakje 1 ster bevat, vakje 2 bevat er 2,vakje 3 is leeg, vakje 4 bevat er 2 en vakje 5 bevat er 3.
Op deze manier weergegeven komt de vraag nu neer op: op hoeveel manieren kun je de sterretjes en streepjes door elkaar husselen?

Merk nu op dat er precies 6 = 5 + 1 = n + 1 streepjes nodig zijn om de 5 vakjes voor te stellen.
De voorstelling begint en eindigt altijd met een streepje, dus hou je 4 streepjes in het middenblok over. Deze 4 streepjes en de 8 sterretjes mogen nu op alle mogelijke manieren gerangschikt worden.
Dat kan op 12nCr8 manieren, want van die 12 symbolen zijn er 8 gereserveerd voor de sterretjes.
Maar je mag ook schrijven 12nCr4, namelijk als je op de 4 streepjes in plaats van de 8 sterretjes let.
Het getal 12 is opgebouwd uit 8 + 5 - 1, dus (r + n - 1)

Redenerend langs dezelfde weg krijg je dan met r voorwerpen en n vakjes (n + r - 1)nCr(r) mogelijkheden (als je op de sterretjes let) of (n + r - 1)nCr(n-1) als je op de streepjes let.

In je probleem met de dobbelstenen geldt nu n = 6.

Schrijf het eens helemaal uit met bijvoorbeeld r = 3 en n = 4; vermoedelijk zie je dan de redeneertrant beter in.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:

Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt.
Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers!


áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾£®©




$\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie: Vergelijkingen
Ik ben:
Naam:
Emailadres:
Datum:18-5-2024