|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Steekproefomvang
Hallo, ik moet als opdracht het volgende bewijzen d.m.v. volledige inductie:
diag(3, -4, 0, 2)]^n = diag (3^n, (-4)^n, 0, 2^n)
Als ik het goed heb is dit een diagonaalmatrix dus:
[ 3 0 0 0 ]^n = [ 3^n 0 0 0 ]
[ 0 -4 0 0 ] [ 0 (-4)^n 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 2 ] [ 0 0 0 2^n ]
De determinant van een diagonaalmatrix is het product van de getallen op de diagonaal dus:
(3*(-4)*0*2)^n = (3^n*(-4)^n*0*2^n)
Dit geldt toch voor alle n aangezien 0 het opslorpend element is? (altijd 0=0)
Maar toch denk ik dat ik iets fout doe, zie jij wat?
Alvast bedankt!
Antwoord
Beste Anoniem (?),
Wat je zegt is niet fout, maar ook niet gevraagd. Die determinant zal altijd 0 zijn, maar er is niets over die determinant gevraagd. Wat je moet bewijzen is dat voor elke n het volgende geldt:
$${\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & { - 4} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{array}} \right)^n} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{3^n}} & 0 & 0 & 0 \\
0 & {{{\left( { - 4} \right)}^n}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & {{2^n}} \\
\end{array}} \right)$$
Via inductie gaat dat als volgt:
- controleer de gelijkheid voor n = 1 (ga na, dat klopt eenvoudig),
- veronderstel dat de gelijkheid geldt voor een zekere n,
- bewijs dat de gelijkheid dan ook geldt voor n+1.
Met andere woorden, ga uit van de gelijkheid die ik hierboven al gaf voor een vaste n en bepaal dan An+1 als matrixproduct A.An waarbij je voor An het rechterlid in bovenstaande gelijkheid kan gebruiken.
mvg,
Tom
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
