|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Priemfactoren
Hallo wisfaq,
Neem aan dat U samenhangend is.Beschouw het probleem van Neumann
-(Lapliciaan)u=f in U
(pu/pn)=0 op de rand van U
(pu/pn)(p is hier het teken voor partiële afgeleide);(pu/pn) is gedefinieerd als het inwendig product van n en Du: de outward normal derivative van u.
En n is de outward unit normal vector n=(n_1,n_2,....,n_k)
Een functie u in H^1(U) is een zwakke oplossing van het probleem van Neumann als
(*) int[Du.Dv]dx=int[f*v]dx,
voor alle v in H^1(U) en f in L^2(U)
Opmerkingen bij (*)
1.Er wordt geïntegreerd over U.
2.Met Du.Dv wordt het inwendig product tussen Du en Dv bedoeld.(Ook in het vervolg betekent staat een . voor inw.prod.)
Ik wil graag het volgende bewijzen
Het probleem van Neumann heeft een zwakke oplossing d.e.s.d.a. int[f]dx (over U)=0
Ik heb zelf het volgende
(- ) Stel dat het Neumann probleem een zwakke oplossing heeft.Dan geldt dat
(*) int[Du.Dv]dx=int[f*v]dx
Als we nu partieel gaan integreren dat krijgen we
(L(v) staat voor Laplaciaan van v)
-int[L(u).v](over U)+int[(pu/pn).v](over de rand van U)+int[f*v](over U)=0
L(u)=f in U dus int[fv]=int[L(u).v] en dus volgt nu dat
int[(pu/pn).v]=0 en hieruit volgt dat (pu/pn)=0.
Maar hoe moet ik nu verder?
( -) Ik heb begrepen dat ik voor het bewijs van links naar rechts de Ongelijkheid van Poincare moet gebruiken maar ik zie niet waarom.
Groeten,
Viky
Antwoord
Beste Vicky,
Je wilt dus bewijzen dat als òUÑu.Ñv dV = òUf*v dV het probleem van Neumann dan een zwakke oplossing heeft.
òUÑu.Ñv dV = òUÑ.((Ñu)*v) dV - òU(Ñ2u)*v dV = ò¶UdS n.((Ñu)*v)dV - òU(Ñ2u)*v dV = ò¶UdS (¶u/¶n)*v dV - òU(Ñ2u)*v dV = òUf*v dV
Hier heb ik de stelling van Gauss of de divergentiestelling toegepast. Er geldt dus dat
òU(Ñ2u + f)*v dV = ò¶U(¶u/¶n)*v dV
In het rechterlid integreren we enkel over het randoppervlak. We weten echter dat de normale afgeleide daar nul is. Het rechterlid is dus nul. Er geldt dus dat
òU(Ñ2u + f)*v dV = 0
Nu is v een willekeurige functie dus moet er gelden dat
Ñ2u = -f
Als we nu v = 1 stellen, dan geldt er triviaal dat Ñv = 0.
Als we dit invullen in onze stelling dan krijgen we dat Ñ2u = -f met ¶u/¶n = 0 op het randoppervlak een zwakke oplossing heeft als
òUÑu.Ñv dV = òUf*v dV of
0 = òUf dV
Wat exact was wat je vroeg. Hopelijk is het duidelijk.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
