|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Meetkunde
Ik heb de volgende differentiaalvergelijking
dv2/dt + (3.c.y)/(2d) = 2.e
hierbij is c,d en e een bekende van densiteiten maar makkelijker om het hier zo te schrijven.
Toon dit aan door middel van de oplossingsmethode voor een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten (met andere woorden algemene oplossing van de homogene vergelijking (=zonder tweede lid) plus particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking met tweede lid.
In dit geval is de algemene oplossing een exponentieel dalende functie en de particuliere oplossing de constante uitdrukking voor
Het is nodig/nuttig aan te geven hoe snel die exponentieel dalende functie uitsterft.
Antwoord
De oorspronkelijke vergelijking was
Ik zou die vergelijking eerst even vereenvoudigen tot
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+ay=b
$$met $y=v^2$, en $a=3\rho_\nu c_w/(2d\rho_h)$ en $b=2(\rho_h-\rho_\nu)g/\rho_h$ dus. Dat is wat overzichtelijker.
De bijbehorende homogene vergelijking is $y'+ay=0$ en die heeft $y=C\mathrm{e}^{-at}$ als oplossing.
Een particuliere oplossing kun je bijna direct zien: $a$ en $b$ zijn constant, dus je kunt een constante functie proberen en, inderdaad, $y_p(t)=b/a$ is een oplossing.
De algemene oplossing is dus
$$
y(t)=\frac ba+ C\mathrm{e}^{-at}
$$Nu kun je weer invullen wat $a$ en $b$ waren en kijken of je die kwalitatieve vragen kunt beantwoorden.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
