|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Integreren
Hallo,
Ik ben opzoek naar een formule of manier om volgend probleem op te lossen:
Ik wil te weten komen met hoeveel verschillende sommen je het getal 137 kan bekomen.
Enkele voorwaarden.
1. Je mag enkel getallen gebruiken $<$46.
2. Ieder getal mag je slechts 1 maal gebruiken
3. Er moeten telkens 6 verschillende getallen gebruikt worden.
Voorbeeld van som die je kan gebruiken:
2+9+11+33+40+42 =137
Bestaat er een formule om te zien hoeveel verschillende sommen er mogelijk zijn om 137 te bekomen, gelet op bovenstaande voorwaarden?
Antwoord
Bij zo'n probleem kijk ik eerst naar wat eenvoudiger gevallen: het aantal manieren om $x+y+z=10$ met verschillende $x$, $y$ en $z$ te maken (willekeurig, alles kleiner dan $4$, alles kleiner dan $5$, enzovoort).
Wat je dan zult zien is dat je het best systematisch te werk kunt gaan: omdat $(2,3,5)$ dezelfde oplossing is als $(5,2,3)$ bekijken we alleen oplossingen met $x$, $y$ en $z$ in opklimmende grootte.
Stel alles moet kleiner dan $8$ zijn:
dan begin je met $z=7$ en telt het aantal manieren om $10-z$ als $x+y$ te schrijven is met $x$ kleiner dan $y$ en $y$ kleiner dan $z$;
volgende stap $z=6$ en weer tellen, dan $z=5$ en tellen, enzovoort. Dat tellen is makkelijk want in dit geval moet $\frac12(10-z($<$y$<$(10-z)$ en dat aantal $y$-en is $\frac12(10-z)-1$ als $10-z$ even is en $\frac12(10-z-1)$ als $10-z$ oneven is.
Bij viertallen $(x,y,z,w)$ doe je hetzelfde, maar het wordt meer werk: je laat $w$ naar beneden lopen van $7$ naar $1$ en telkens tel je het aantal manieren om $10-w$ te schrijven als $x+y+z$, en dat gaat dan als boven waarbij je $z$ nu van $w-1$ naar $1$ laat lopen.
Voor jouw probleem moet je wat notatie invoeren (en dat is hierboven ook handig): noteer men $d(k,n,g)$ het aantal manieren op $n$ als som van $k$ verschillende getallen te schrijven die allemaal kleiner zijn dan $g$".
Met de beperking in je som is $d(6,137,46)$ het getal dat je zoekt.
De redenering hierboven geeft dat
$$
d(6,137,46) = \sum_{z=1}^45 d(5,137-z,z)
$$(merk op dat $d(5,137-z,z)=0$ als $z\le137/6$).
Volgende stap
$$
d(5,137-z,z)=\sum_{y=1}^{z-1} d(4,137-z-y,y)
$$Dit kun je het beste doen door er een programmaatje voor te schrijven.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
