|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Herleiden
Als ik deze vergelijkingen moet oplossen:
2cos(x-1/3$\pi$)=√2
Dan bereken ik een exacte waarde en de periode. Dan schets ik de grafiek maar om de overige oplossingen te berekeningen moet ik gebruik maken van de symmetrie. Nu weet ik niet hoe ik die symmetrieas exact bepaal zodat ik daarvandaan de overige oplossingen binnen een gegeven interval kan berekenen.
Antwoord
Het oplossen van zo'n goniometrische vergelijking gaat zo:
$
\eqalign{
& 2\cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \sqrt 2 \cr
& \cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \cr
& x - \frac{1}
{3}\pi = \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x - \frac{1}
{3}\pi = - \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& x = \frac{7}
{{12}}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{1}
{{12}}\pi + k \cdot 2\pi \cr}
$
- Maar waar gebruik ik nu de symmetrieas?
Als je van $
\cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2
$ naar de volgende stap gaat.
In 't algemeen geldt:
$
\cos \alpha = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \Rightarrow \alpha = \frac{1}
{4}\pi
$
Maar dat is maar een klein deel van 't verhaal. Er zijn nog veel meer hoeken... allereerst de hoeken modulo $
2\pi
$. Daarom krijg je de toevoeging $
... + k \cdot 2\pi
$, maar ook de hoeken waarvoor $
\alpha = - \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi
$.
Bij die laatste verzameling oplossing speelt de symmetrie van de cosinusfunctie een rol.
Er zijn dus voor $\alpha$ twee verzamelingen met oneindig veel oplossingen. Vandaar misschien?
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
