De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Extremen

Hoe komt het dat getallenreeks met pi er in (bijv. de Arctan, Leibniz en Euler) oneindig lang zijn ondanks dat de breuken uit simpele getallen bestaan?
bedankt

Antwoord

Het kenmerk van een breuk is dat de decimalen óf op een bepaald moment stoppen óf dat ze gaan repeteren.
Van beide een voorbeeld:
bij 1/4 stopt het, want 1/4 = 0,25 en bij 1/7 gaat het repeteren, want 1/7 = 142857 142857 142857 ....

Omgekeerd: als je een getal opschrijft waarbij de deimalen gaan stoppen of repeteren, dan kun je er altijd een breuk van maken.

Men kan bewijzen dat het getal p een rij decimalen heeft die nooit stopt, maar ook nooit repeteert. Dat bewijs is overigens niet zo heel eenvoudig, maar dat doet voor jouw vraag niet ter zake.
Omdat de decimaalontwikkeling van p dus niet stopt en ook niet repeteert, weet je zeker dat het geen breuk is.
Maar dan moeten die getallenreeksen ook oneindig lang doorlopen, want als het maar een beperkt aantal mooie breuken zouden zijn, dan zou je ze 'eventjes' optellen en dan zou je als eindresultaat een breuk gevonden hebben die gelijk zou zijn aan p. En dat kan dus niet! Zie boven.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Bewijzen
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024