De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Correlatiecofficint

Ik zoek een antwoord op de volgende vraag: Bestaat er een functie die wel injectief is, maar NIET surjectief, waarvoor de inverse functie bestaat? Zo ja, geef een voorbeeld.

Volgens sommige bronnen op het internet bestaat de inverse functie a.s.a de functie injectief én surjectief( dus bijectief) is, volgens mijn prof is een nodige en voldoende voorwaarde dat de functie injectief is.

Antwoord

De exponentiële functie is injectief maar niet surjectief.
Het def(a^.)=$\mathbf{R}$ en Im(a^.)=$\mathbf{R}$⁺₀. (a een strikt positief reëel getal verschillend van 1)
Dus a^x$>$0 voor elke x $\in$$\mathbf{R}$.

De inverse functie is de logaritmische functie met grondtal a: y=a^x $\Leftrightarrow$ x = log_a(y)

Wie heeft er gelijk? eigenlijk beide.
De inverse functie bestaat pas als de functie zowel injectief is als surjectief, waarbij je enkel kijkt naar het definitie gebied en waardeverzameling en niet naar $\mathbf{R}$.
Dus: a^.:$\mathbf{R}\to\mathbf{R}$⁺₀:x$\to$a^x
en de inverse functie
(a^.)^-1=log_a(.):$\mathbf{R}$⁺₀$\to\mathbf{R}$:x$\to$log_ax
Als we deze functies beschouwen dan zijn ze beide zowel injectief als surjectief.

Dus injectief zijn is in dus voldoende. Het is ook nodig want bijvoorbeeld y=x² $\Leftrightarrow$ x=±√x
Met één y-waarde corresponderen dus twee x'en. De inverse functie bestaat dus niet omdat je niet eenduidig kan vastleggen welke x je nu met welke y moet laten corresponderen.
Maar je kan die functie wel in twee stukken trekken nl:
f₁:$\mathbf{R}$⁺$\to\mathbf{R}$⁺:x$\to$x² heeft als inverse f₁^-1:$\mathbf{R}$⁺$\to\mathbf{R}$⁺:x$\to$√x
en
f₂:$\mathbf{R}$^-$\to\mathbf{R}$⁺:x$\to$x² heeft als inverse f₂^-1:$\mathbf{R}$⁺$\to\mathbf{R}$^-:x$\to$-√x

Besluit: De inverse functie bestaat als je functie, beperkt tot zijn definitiegebied, zowel injectief is als surjectief, of als je de functie bekijkt t.o.v. $\mathbf{R}$ als ze injectief is.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Statistiek
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	19-5-2024