WisFaq!

Hoe reken je kansen met complementregel?

Hoe reken je kansen met complementregel?

nelofar
2-4-2002

Antwoord

Als er bij een bepaalde kansvraag een heleboel gunstige mogelijkheden zijn, dan is het soms een hele klus om te berekenen om hoeveel gunstige mogelijkheden het precies gaat.
Dan is het vaak veel slimmer om uit te rekenen hoeveel ongunstige mogelijkheden er zijn. Als je die aftrekt van het totale aantal, dan heb je toch wat je wilt!

Voorbeeld

Stel je gooit met 5 dobbelstenen tegelijk en er wordt gevraagd naar de kans op in totaal minstens 7 ogen.
Met 5 stenen is dat natuurlijk al heel snel het geval, dus het rechtstreeks uittellen of uitschrijven van alle mogelijkheden is bijna niet te doen.
Veel beter kun je je dan afvragen welke uitkomsten je nu eigenlijk niet wilt hebben.
Dat zijn natuurlijk alle mogelijkheden met minder dan 7 ogen, dus met 6 of 5 ogen. En dat is wel te overzien.
Om 5 te gooien moet je (1,1,1,1,1) gooien.
En om 6 te gooien moet je bijvoorbeeld (2,1,1,1,1) gooien. Maar omdat de 2 op vijf plaatsen kan staan, zijn er dus 5 mogelijkheden om 6 te gooien.
Alles bij elkaar zijn er dus maar 6 "foute" uitkomsten.
In totaal zijn er 6⁵ =7776 mogelijkheden, en dus zijn er 7770 gunstig, d.w.z. met meer dan 7 ogen.
En de kans is daarom 7770/7776.

Voorbeeld

Stel in een vaas zitten 3 witte, 2 blauwe en 5 zwarte ballen. Je pakt er zonder terugleggen drie uit en je wilt de kans hebben op twee of drie verschillende kleuren.

Als je alle gewenste kleurcombinaties wilt opschrijven, dan ben je wel eventjes zoet. Beter is het om je af te vragen welke kleurcombinaties je niet wenst te trekken. Dat zijn de combinaties die drie keer achter elkaar de zelfde kleur opleveren, dus w,w,w of b,b,b of z,z,z
Maar b,b,b kan al helemaal niet, want er zitten maar 2 blauwe ballen in de vaas.
Dus hoef je alleen nog maar de kans te bepalen op 3 keer wit of 3 keer zwart.
P(3 keer wit)=3/10.2/9.1/8
P(3 keer zwart)=5/10.4/9.3/8
Tel deze twee kansen bij elkaar en trek het resultaat van het getal 1 af, en je hebt wat je wilde.

Tot slot

Woordjes als "minstens" en "hoogstens" nodigen vaak uit tot deze complementaire aanpak. Maar als er bijna net zoveel ongunstige als gunstige uitkomsten zijn, dan is het steeds een kwestie van afwegen wat het handigst is. Het is vaak een kwestie van ervaring om te overzien wat het snelst zal gaan.

MBL
2-4-2002