WisFaq!

Breuksplitsen

Hallo,
Bij een breuk met een 1e graads teller een een derde graads noemer krijg je als standaard formule:
(x-1)/((x+3)(x2+3x+2)) = A/(x+3) + (Bx+C)/(x2+3x+2)
Dit kun je gaan oplossen.
Nu wil ik een breuk met een 4e graads teller en een derde graads noemer oplossen.
Ik gebruikte toen als formule:
(x⁴+ x³ +x²+x+1)/((x+1)(x²+x+1)) = (Ax²+Bx+C)/(x+1) + (Dx³+ Ex²+Fx+C)/(x²+x+1)
Ik weet niet of dit klopt, kunt u dit zeggen. Als het niet klopt kunt u me dan uitleggen hoe je zo'n formule moet bedenken,want ik moet ook nog een breuk met een 2e en 3e graads teller en 3e graads noemer oplossen.Klopt het dat je bij een breuk met een 2e graads teller en een derde graads noemer dezelfde formule krijgt als bij een 1e graads teller.

Ik heb deze breuk wel uitgewerkt en dan kwam ik bij:
A+D = 1
A+B+D+E=1
A+B+C+E+F=1
B+C+F+G=1
C+G=1
Ik weet niet hoe ik dit moet oplossen.
Kunt u me helpen?

Groetjes Elsbeth

Elsbeth
14-4-2003

Antwoord

Bij het splitsen in partieelbreuken moet je altijd beginnen met er voor te zorgen dat je teller een graad heeft die kleiner is dan de noemer. Dit kan je bereiken door de deling uit te voeren en het quotient af te splitsen.

Bvb.

(x³+3x+1)/(x²-1) = x + (4x+1)/(x²-1)

Nu moet de overblijvende breuk nog opgesplitst worden.

Er is een stelling die zegt dat je een veelterm altijd kan opsplitsen in lineaire "x+a" en kwadratische "x²+bx+c" factoren (waarbij die laatste niet meer kan opgesplitst worden).

Een factor (x+a)^m in de noemer geeft de termen

A1/(x+a) + A2/(x+a)² + ... + Am/(x+a)^m

Een factor (x²+bx+c)ⁿ in de noemer geeft de termen

(B1 x+C1)/(x²+bx+c) + (B2 x + C2)/(x²+bx+c)² + ... + (Bn x + Cn)/(x²+bx+c)ⁿ

Op die manier bekom je een stelsel dat je altijd kan oplossen, in tegenstelling tot het stelsel dat jij bekwam, waar meer onbekenden dan vergelijkingen inzaten.

cl
14-4-2003