WisFaq!

Substitutie

Geachte,
Kunt u mij helpen?
Ik wil de volgende integraal oplossen: integraal x wortel(2 -wortel 1-x²) met als grenzen van 0 tot 1.
Als substitutie heb ik genomen 1-x²=t² en dan krijg ik:- integraal t wortel
2-t dt met als grenzen van 1 tot 0.
Deze heb ik vervangen door: integraal t wortel 2 -t de met de grenzen van 0 tot 1.
En nu het probleem: als ik 2-t vervang door u krijg ik de goede uitkomst:
(16 $\sqrt{}$ 2 - 14): 15.
En als ik 2-t=u² substitueer krijg ik een andere uitkomst...
Waarom zijn BEIDE manieren om geen wortel meer te hebben niet goed?

Alvast bedankt voor uw antwoord.

Diane
29-11-2024

Antwoord

Ik denk dat je de verkeerde grenzen hebt genomen.
Je eerste, met $2-t=u$, wordt
$$
\int_2^1(2-u)\sqrt{u}\cdot-\mathrm{d}u = \int_1^22\sqrt{u}-u\sqrt{u}\,\mathrm{d}u
$$
Je tweede, met $2-t=u^2$, wordt
$$
\int_{\sqrt2}^1(2-u^2)\sqrt{u^2}\cdot-2u\,\mathrm{d}u = \int_1^{\sqrt2}4u^2-2u^4\,\mathrm{d}u
$$
Beide hebben $\frac{16}{15}\sqrt2-\frac{14}{15}$ als antwoord.

kphart
30-11-2024