WisFaq!

Orde

$(\mathbb{Z}/72\mathbb{Z})^* = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Hoe bepaal ik het aantal elementen met orde $4$.

Jan
18-11-2024

Antwoord

Ik neem aan dat de eerste * voor "multiplicatieve groep" staat en de andere drie voor "product" (ik heb het maar aangepast).

Er zijn geen elementen van orde $4$ in het product. Let op dat rechts vier optelgroepen staan, neem een punt $x=(a,b,c,d)$ in dat product en tel het bij zichzelf op $x+x=(a+a\bmod2,b+b\bmod2,c+c\bmod2,d+d\bmod3)$, en dat is gelijk aan $(0,0,0,d+d\bmod3)$. Als je dat weer bij zichzelf optelt komt er $(0,0,0,d+d+d+d\bmod3)=(0,0,0,d\bmod3)$. Dus als $x$ orde $4$ moet hebben dan moet $d=0\pmod3$, maar dan geldt al $x+x=(0,0,0,0)$ en is $x$ al van orde $2$.

kphart
18-11-2024