WisFaq!

Re: Groep van priemorde

Ik vang het nog niet helemaal wat hier bedoeld wordt.
Neem bijv. p=7 Z/7Z = {1,2,3,4,5,6) - $>$ orde = p-1=6
Voor alle elementen a uit (Z/7Z)* reken ik de orde uit.
Dus: 2^3 mod 7 = 1 - $>$ orde = 3
3^6 mod 7 = 1 - $>$ orde = 6
4^3 mod 7 = 1 - $>$ orde = 3
5^6 mod 7 = 1 - $>$ orde = 6
6^2 mod 7 = 1 - $>$ orde = 2

Dus voor de generators $<$ 3 $>$ en $<$ 5 $>$ is Z/7Z cyclisch. Klopt dat?

Kunt u ook een cijfervoorbeeld geven van een groep G van orde p, met p een priemgetal, die isomorf is met de cyclische groep van orde p.

Groetjes, Jan.

jan
14-9-2024

Antwoord

Je haalt wat dingen door elkaar.

$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ heeft zeven elementen: $\{0,1,2,3,4,5,6\}$. Dit is een groep van orde $7$ onder optelling. Mijn vorige antwoord zegt dat voor elke $a\neq0$ alle veelvouden $a$, $a+a$, $a+a+a$, $\dots$, $a+a+a+a+a+a+a$ verschillend zijn en dus de groep vormen. De groep is cyklisch en elke $a\neq0$ is een voortbrenger.

Jij bekijkt alleen $\{1,2,3,4,5,6\}$ en gebruikt vermenigvuldiging; dan krijg je een groep van orde $6$ en $6$ is geen priemgetal, dus dit heeft niets met het vorige antwoord te maken. Nu is het zo dat deze groep ook cyclisch is, en je hebt twee voortbrengers gevonden, maar dat volgt dus niet als in het vorige antwoord. Dat volgt uit een algemene stelling: als $p$ priem is dan is $\{1,2,\ldots,p\}$ onder vermenigvuldiging ook cyclisch, maar het bewijs van die stelling geeft niet automatisch een voortbrenger.

kphart
14-9-2024