WisFaq!

n?

Voor ieder positief geheel getal n definieert men n? als volgt:

n?= 1 als n= 1
n
/(n-1)? als n2

Bewijs dat geldt: Ö19921992?4/3Ö1992


Het is zo dat 5? =(5x3x1)/(4x2)
en 6? =(6x4x2)/(5x3x1)
en dus 1992? =(1992x1990x1988x1986x........x2)/
(1991x1989x1987x.......1)
hier zijn we achter gekomen naar aanleiding van het eerste gegeven.
Maar hoe we de rest kunnen bewijzen, daar zijn we niet uitgekomen. We weten dat je alles zult moeten kwadrateren, maar dan....?

ALvast heel erg bedankt.

Groetjes jo

jo
13-4-2003

Antwoord

Ik laat de rechter ongelijkheid zien. Daarbij gebruik ik dat altijd geldt dat n²(n-1)(n+1) bijvoorbeeld 6²7x5. Pas dit nu in de noemer toe (dat wordt de noemer kleiner en de uitkomst dus groter). Maar niet tot het einde. 1991² in de noemer vervang ik door 1992x1990. Als laatste vervang ik 21² door 22x20. Daarna valt er heel veel weg.

1992?²=(1992x1990x1988x......x8x6x4x2)²/(1991x1989x1987x...x7x5x3x1)²
(1992x1990x1988x.....20x18x16x14x12x10x8x6x4x2)²/ (1992x1990x1990x1988x...22x22x20x19²x17²x15²x13²x11²x9²x7²x5²x3²x1²)=
(1992x20x18²x16²......x2²)/(19²x17²x.....x1²)= 1992·1,61 1992·16/9

Die andere ongelijkheid zal je wel met dezelfde truc te lijf moeten gaan, het blijft een heel gepriegel.

met vriendelijke groet.

JaDeX

jadex
13-4-2003