WisFaq!

Re: Limiet met onbepaaldheid

Te snel geweest... Bedankt.
Mag ik ineens een theoretische vraag stellen?
Bij 0/0 of oneindig/oneindig onbepaaldheid, moet men onvermijdelijk tot de oplossing komen indien men een genoeg aantal keer l'Hospital toepast? Als niet, bestaan er "truukjes" die dan kunnen helpen?

els
21-8-2024

Antwoord

Dag Els,

Dat is een goede vraag en helaas: l'Hôpital leidt niet noodzakelijk tot het vinden van de limiet.

Bekijk bijvoorbeeld:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$$en probeer de regel een eerste keer (ga na dat je weer een onbepaaldheid krijgt) en vervolgens een tweede keer toe te passen, wat merk je?

Dat betekent niet dat de limiet niet bestaat, misschien zie je een andere manier om de limiet te berekenen?

Er kan zich ook een andere situatie voordoen, bekijk bijvoorbeeld:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{{x+\sin x}}{x}$$waarbij zowel teller als noemer naar oneindig gaan en je na toepassen van l'Hôpital een limiet krijgt die niet bestaat:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1+\cos x \right)$$Dat betekent echter niet dat de oorspronkelijke limiet niet bestaat, daarvoor moet je de regel van l'Hôpital nauwkeurig lezen: als de nieuwe limiet (dus van $f'/g'$, met teller en noemer afgeleid) bestaat, dan is het ook de waarde van de oorspronkelijke (dus de limiet van $f/g$); in de situatie hierboven is er geen conclusie.

Ook hier: de limiet bestaat en kan zonder l'Hôpital gevonden worden.

Wat wel een goede aanpak of gepast trucje is, hangt af van de functie (en soms zijn er verschillende mogelijkheden om de limiet te vinden).

mvg,
Tom

td
21-8-2024