WisFaq!

Limiet tan(x)tan(3x)

Hoy
Opgave: lim⁡(tan⁡(x))/(tan⁡(3x)) x- $>$ $\pi$/2- (dus vanuit waarden $<$ $\pi$/2)
Bij waarden $<$ $\pi$/2 is cos(x) $>$ 0 en bij waarden $<$ 3$\pi$/2 is cos(x) $<$ 0 $\to$ (+∞)/(-∞) $\to$ l’Hospital:
(tan⁡(x)/tan⁡(3x) )’ = (1/(cos²(x)))/(3/(cos²(3x)))
$\to$ lim (1/(cos²(x)))/(3/(cos²(3x))) = lim (cos²(3x))/(3cos²⁡(x)) = 1/3
Maar de oplossing is 3. Ik weet niet wat ik fout doe.
Alvast bedankt voor hulp.
Els

els
20-8-2024

Antwoord

Waarom zou de laatste limiet gelijk aan $1/3$ moeten zijn? Het is nu een geval van $0/0$ geworden.
Je kunt nu nog een keer de regel van de l'Hopital toepassen, maar ik kan nu al zeggen dat je het daarna nog een keer moet doen.

Alternatief: schrijf het quotiënt even uit:
$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos 3x}{\sin 3x}=
\frac{\sin x}{\sin3x}\cdot\frac{\cos 3x}{\cos x}
$$de eerste factor heeft limiet $-1$, dus concentreer je op de tweede:
$$\lim_{x\uparrow\frac\pi2}\frac{\cos 3x}{\cos x}
$$Pas daar de regel van de l'Hopital maar eens op toe.

kphart
20-8-2024