WisFaq!

Optimale hoek bepalen

Hallo

in een cirkel met straal 3 cm zit een trapezium ABCD zodat AD een middellijn is. Stel hoek DAB = alfa. Voor welke waarde van alfa is de oppervlakte ABCD maximaal?
Ik deed dit:
opp = (BC +AD)/2 x h
AD=6
Ik trek een lijn van O (middelpunt) naar B en C en een vertikale lijn (h) van O naar BC $\to$ h=3sin(alfa)
(BC/2)² = BO² -h² $\to$ BC=6cos(alfa)
$\to$ oppervlakte = 9cos(alfa).sin(alfa) +9sin(alfa)
Ik bereken de afgeleide: cos²(alfa) +2cos(alfa) -1=0
$\to$ cos(alfa) = -1 + 2$^{\frac{1}{2}}$ = 0,4142...
$\to$ alfa = 65,5... graden.
Het antwoord blijkt 60° te zijn. Waar is mijn fout?
Bedankt.
Raf

raf
18-8-2024

Antwoord

Het berekenen van de afgeleide gaat niet goed:

O = 9cos($\alpha$)·sin($\alpha$) + 9sin($\alpha$)
O' = 0 levert:
9(cos²($\alpha$) - sin²($\alpha$)) + 9cos($\alpha$) = 0
cos²($\alpha$) - sin²($\alpha$) + cos($\alpha$) = 0
2cos²($\alpha$)-1 + cos($\alpha$) = 0

Gesorteerd:

2cos²($\alpha$) + cos($\alpha$) -1 = 0

GHvD
18-8-2024