WisFaq!

Optimale hoek bepalen

Hallo

in een cirkel met straal 3 cm zit een trapezium ABCD zodat AD een middellijn is. Stel hoek DAB = alfa. Voor welke waarde van alfa is de oppervlakte ABCD maximaal?
Ik deed dit:
opp = (BC +AD)/2 x h
AD=6
Ik trek een lijn van O (middelpunt) naar B en C en een vertikale lijn (h) van O naar BC \to h=3sin(alfa)
(BC/2)² = BO² -h² \to BC=6cos(alfa)
\to oppervlakte = 9cos(alfa).sin(alfa) +9sin(alfa)
Ik bereken de afgeleide: cos²(alfa) +2cos(alfa) -1=0
\to cos(alfa) = -1 + 2^{\frac{1}{2}} = 0,4142...
\to alfa = 65,5... graden.
Het antwoord blijkt 60° te zijn. Waar is mijn fout?
Bedankt.
Raf

raf
18-8-2024

Antwoord

Het berekenen van de afgeleide gaat niet goed:

O = 9cos(\alpha)·sin(\alpha) + 9sin(\alpha)
O' = 0 levert:
9(cos²(\alpha) - sin²(\alpha)) + 9cos(\alpha) = 0
cos²(\alpha) - sin²(\alpha) + cos(\alpha) = 0
2cos²(\alpha)-1 + cos(\alpha) = 0

Gesorteerd:

2cos²(\alpha) + cos(\alpha) -1 = 0

GHvD
18-8-2024