WisFaq!

Complexe eenheidscirkel

Hoe verklaar je met de eenheidscirkel in het complexe vlak, het kwadratische karakter van 2, dus (2/p) waarbij p een oneven priemgetal is.

jan
26-7-2024

Antwoord

Je kunt rekenen modulo $p$ ook in het complexe vlak uitvoeren: voor $k=1$, $2$, $\ldots$, $p-1$ heb je de complexe getallen $e^{k\frac {2\pi}p\mathrm{i}}$. Die liggen op de eenheidcirkel en vormen een regelmatige $p$-hoek die rechts begin in $1=e^{0\cdot\frac{2\pi}p\mathrm{i}}$, teken hem maar eens voor $p=3$, $p=5$ en $p=7$ (voor grotere $p$ gaat het ook wel maar het is meer werk).

Optellen modulo $p$ komt overeen met vermenigvuldigen van de complexe getallen:
$$e^{k\frac {2\pi}p\mathrm{i}}\cdot e^{l\frac {2\pi}p\mathrm{i}}=e^{(k+l)\frac {2\pi}p\mathrm{i}}
$$Vermenigvuldigen modulo $p$ is dan eigenlijk machtsverheffen:
$$e^{k\cdot l\frac {2\pi}p\mathrm{i}}=\bigl(e^{k\frac {2\pi}p\mathrm{i}}\bigr)^l = \bigl(e^{l\frac {2\pi}p\mathrm{i}}\bigr)^k
$$meetkundig vermenigvuldig je de hoek $k\frac {2\pi}p$ met $l$ (of andersom).

Dus $2$ is een kwadraat modulo $p$ als je een hoek $k\frac {2\pi}p$ kunt vinden die als je hem met $k$ vermenigvuldigt precies uitkomt op $e^{\frac{4\pi}p\mathrm{i}}$.

kphart
30-7-2024