WisFaq!

Complexe eenheidscirkel

Hoe verklaar je met de eenheidscirkel in het complexe vlak, het kwadratische karakter van 2, dus (2/p) waarbij p een oneven priemgetal is.

jan
26-7-2024

Antwoord

Je kunt rekenen modulo p ook in het complexe vlak uitvoeren: voor k=1, 2, \ldots, p-1 heb je de complexe getallen e^{k\frac {2\pi}p\mathrm{i}}. Die liggen op de eenheidcirkel en vormen een regelmatige p-hoek die rechts begin in 1=e^{0\cdot\frac{2\pi}p\mathrm{i}}, teken hem maar eens voor p=3, p=5 en p=7 (voor grotere p gaat het ook wel maar het is meer werk).

Optellen modulo p komt overeen met vermenigvuldigen van de complexe getallen:

e^{k\frac {2\pi}p\mathrm{i}}\cdot e^{l\frac {2\pi}p\mathrm{i}}=e^{(k+l)\frac {2\pi}p\mathrm{i}}

Vermenigvuldigen modulo p is dan eigenlijk machtsverheffen:

e^{k\cdot l\frac {2\pi}p\mathrm{i}}=\bigl(e^{k\frac {2\pi}p\mathrm{i}}\bigr)^l = \bigl(e^{l\frac {2\pi}p\mathrm{i}}\bigr)^k

meetkundig vermenigvuldig je de hoek k\frac {2\pi}p met l (of andersom).

Dus 2 is een kwadraat modulo p als je een hoek k\frac {2\pi}p kunt vinden die als je hem met k vermenigvuldigt precies uitkomt op e^{\frac{4\pi}p\mathrm{i}}.

kphart
30-7-2024