WisFaq!

Voorschrift van een vierdegraadsfunctie bepalen

Hoe kan ik het voorschrift bepalen van een vierdegraadsfunctie met slechts 2 nulpunten?

Jessica
4-6-2024

Antwoord

Hallo Jessica,

Aan de figuur te zien, heb je niet alleen twee nulpunten, maar ook drie punten waar je de helling weet. Ik weet niet of deze gegevens exact gegeven zijn, of dat je de nulpunten en hellingen uit de figuur moet aflezen. In het laatst geval krijg je natuurlijk ook een benadering van de vierdegraadsfuntie.

Je kunt het als volgt aanpakken:
Stel de gevraagde functie is:
f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e
De afgeleide is dan:
f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d

Vul vervolgens de nulpunten in de eerste formule in en stel de uitkomst gelijk aan nul. Voor het nulpunt 7,2 is dit:
a·7,2⁴+b·7,2³+c·7,2²+d·7,2+e=0
Hieruit volgt de vergelijking:
2687,3856a + 373,248b + 51,84c + 7,2d + e = 0 (vergelijking 1)
Doe hetzelfde voor het tweede nulpunt, dit levert vergelijking 2.

Bepaal dan de helling in punt A. Op mijn scherm is het wat lastig aflezen, maar zo te zien is de helling ongeveer 7 bij x=-3. Dat betekent dat de afgeleide functie voor x=-3 gelijk zou zijn aan 7, dus:
4a·(-3)³+3b·(-3)²+2c·(-3)+d=7
Hieruit volgt de vergelijking:
-108a + 27b -6c + d = 7 (vergelijking 3)

Doe hetzelfde voor de punten B en C. Zo krijg je 5 vergelijkingen met 5 onbekenden a t/m e. Zo'n stelsel is oplosbaar, een aanpak zie je bij 3 vergelijkingen, 3 onbekenden.

Een andere manier is om 5 willekeurige punten van de grafiek af te lezen, zoals bijvoorbeeld f(2)=4. Op dezelfde manier als hierboven levert dit de vergelijking:
a·2⁴+b·2³+c·2²+d·2+e=4
ofwel:
16a + 8b + 4c + 2d + e = 4

Doe dit weer vijf keer, zodat je 5 vergelijkingen met 5 onbekenden krijgt. Los dit stelsel op om a t/m e te vinden.

Lukt het hiermee?

GHvD
5-6-2024