WisFaq!

Gaussian integral

Hallo,

Neem de standaard gaussian integraal $\smallint $ e^-x2 (Met grenzen -oneindig tot plus oneindig).

Dit is de standaard kromme van de normale verdeling waarbij we met de integraal de oppervlakte berekenen onder de grafiek (boven de x-as).

Vervolgens passen we de 'trucjes' toe en komen we bij de dubbele integraal met een r van 0 tot oneindig en de theta van 0 tot 2$\pi$. Dit laatste was bij mijn studenten wat verwarrend aangezien als je e^-x2 bekijkt, dit een grafiek is die eigenlijk alleen zich boven de x-as bevindt en dus zou lopen van 0 tot pi.

Nu ben ik op zoek naar een heldere uitleg in leerlingentaal (v5/v6 wd) en ik ben met de volgende uitleg gekomen, ik hoor graag of wat ik hier beweer geen fouten bevat.

We hebben de integraal van e^-x2. Vervolgens kwadrateren we deze (en pakken we van het antwoord weer de wortel). Met het 'trucje' komen we bij de integraal van e^-x2+y2 waardoor we eigenlijk effectief van x en y, naar een x,y,z as gegaan zijn; we zijn van 2d naar 3d gegaan, van oppervlakte naar inhoud. Als je de grafiek in 3d plot van z=e^-x2+y2 willen we eigenlijk de totale inhoud onder deze figuur, en daar vervolgens de wortel van nemen; dat staat dan gelijk aan de oppervlakte in 2d onder de grafiek van e^-x2.

Als we van 'bovenaf' op de xy-as kijken, zien we dat de r moet lopen van 0 naar oneindig, en dat de theta dus een geheel rondje moet maken (0 tot 2$\pi$) (en niet 0 tot pi).

Om de totale inhoud onder e^-x2+y2 te berekenen, gebruiken we de dubbele integraal. Als je nu van 'bovenaf' (dus in het verlengde van de z-as; op de xy-as kijkt), zie je dat we

KS622
11-5-2024

Antwoord

Dit voorbeeld komt in de regel aan het eind van een hoofdstuk over gebiedsintegralen als toepassing van alles wat daarvoor behandeld is.

• De definitie van de integraal van een functie van twee variabelen, met interpretatie van volume als de functie niet-negatief is.
  
• De stelling dat de integraal over een rechthoek door herhaald integreren berekend kan worden
  
• De opmerking dat als $f(x,y)=g(x)\cdot h(y)$ je het product van de afzonderlijke integralen $\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x$ en $\int_c^dh(y)\,\mathrm{d}y$ krijgt
  
• Een stelling die garandeert dat dit ook opgaat voor convergente oneigenlijke integralen.
  
• De substitutieformule voor overgang op poolcoördinaten (waar komt die extra $r$ vandaan?).

Ik kan me voorstellen dat de studenten dit niet allemaal in één keer kunnen behappen. In een gemiddelde Calculus-cursus duurt dit wel een week of twee.

De uitleg is op zich niet fout maar het wapperen met de handen verbloemt een hele gedachtenwereld en ik vermoed dat de studenten het de volgende dag alweer vergeten zullen zijn.

kphart
12-5-2024