WisFaq!

Sinusgrafiek wentelen

Geachte,
Graag hulp bij het volgende probleem...
De grafiek van de sinusgrafiek met domein [
0,] wordt gewenteld om de lijn y=1
Wat is de inhoud van het omwentelingslichaam?
Ik heb g(x)= sin(x) - 1 gewenteld om de x-as in 2 delen: eerst op het domein [0, $\pi$ en dan op [ $\pi$ ,2 $\pi$ ]
Deel 1: integraal van (sin(x) -1)^...2= ¹/₂ -¹/₂cos(2x)- 2sin(x) ×1
inhoud = $\pi$ - uitkomst integraal
Deel 2: uitkomst integraal - $\pi$ (cilindertje)
Dan kom ik niet aan de uitkomst van 3 $\pi$ ^..2. volgens het antwoordblad... Wat doe ik fout? Mijn antwoord = 8 $\pi$ ???

Dank voor uw hulp!

Katrijn
19-4-2024

Antwoord

De extra $\pi$ komt uit de formule:
$$\pi\int_0^{2\pi}(\sin(x) - 1)^2\,\mathrm{d}x
$$de integraal kan gewoon in één keer. Maar in je uitwerking van het kwadraat staat $2\sin(x) \times 1$, dat moet $2\in(x)+1$ zijn. Je krijgt dan
$$\pi\int_0^{2\pi}\frac12-\frac12\cos(2x)-2\sin(x)+1\,\mathrm{d}x
$$en daar komt inderdaad $3\pi^2$ uit.

kphart
19-4-2024