Ik zit in de knoei met gelijkmachtigheid en kardinaalgetal.Wel: neem nu de verzameling van de natuurlijke getallen met de relatie van y = 2x. Dan heb ik twee verzamelingen die gelijkmachtig zijn, nl. $\mathbf{N}$ en $\mathbf{N}$ X $\mathbf{N}$ door de relatie. Dan is het kardinaalgetal van $\mathbf{N}$ gelijk aan het kardinaalgetal van $\mathbf{N}$ /R, nl. aleph
- Twee verzamelingen zijn gelijkmachtig indien er een bijectie tussen beide bestaat
- De relatie 'is gelijkmachtig met' is een equivalentierelatie
- De equivalentieklassen noemen we de kardinaalgetallen van de verzameling
Maar hoe moet ik die equivalentierelatie (reflexief, symmetrisch en transitief) en equivalentieklassen zien?Geys Fons
1-2-2024
Het helpt als je de definities op je in laat werken.Daarna gaat het helemaal mis: de relatie "$y=2x$" heeft niets met de bovenstaande relatie van gelijkmachtigheid te maken: je hebt zomaar wat opgeschreven. Tenzij je met "$y=2x$" iets bedoelt wat ik niet zie.
- De definitie van gelijkmachtig is in orde
- Dat de relatie "is gelijkmachtig met" een equivalentierelatie is klopt, maar hou ik de gaten dat het een relatie tussen verzamelingen is
- je volgende zin lijkt een (ongeoorloofde) mix van twee losse zinnen
- de eerste is: "de equivalentieklassen noemen we kardinaalgetallen"
- de tweede is: "het kardinaalgetal van een verzameling is de equivalentieklasse waar deze toe behoort"
De relatie is in ieder geval geen equivalentierelatie op $\mathbb{N}$ dus equivalentieklassen levert hij ook niet op.
Het antwoord op je vraag, als we het over "$y=2x$" hebben, is: het is geen equivalentierelatie en er zijn geen equivalentieklassen.
Overigens: er is een bijectie tussen $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (probeer er maar een te maken) dus die twee verzamelingen zijn gelijkmachtig en bepalen dezelfde equivalentieklasse; in die klasse zitten ook de verzamelingen van gehele getallen, van rationale getallen, de algebraïsche getallen, en nog veel meer.
kphart
1-2-2024
#98052 - Verzamelingen - Iets anders