WisFaq!

Functies

Begrijp ik niet:

stel f:X \to X, A \subset X, dan
A \subset f^-1(f(A))

Voorbeeld:
A={1,2,4,7}
f(A) = {2,4}
f^-1(f(A))={1,2}

A is hier toch geen deelverzameling van, maar omvat f^-1(f(A))={1,2}

Geys Fons
27-1-2024

Antwoord

Je voorbeeld zegt niets want je geeft niet aan wat X is en wat de werking van de afbeelding f:X\to X is.
Maak maar een X en een f:X\to X met A=\{1,2,4,7\}\subset X en zo dat f[A]=\{2,3\} en ook nog zo dat f^{-1}[f[A]]=\{1,2\}. Het zal je niet lukken, want \dots

Als je naar de definities kijkt wordt duidelijk dat de inclusie wel degelijk geldt.
Eerst de definities:

• f[A]=\{f(a):a\in A\}
  
• f^{-1}[B]=\{x:f(x)\in B\}
  

Dus x\in f^{-1}[f[A]] betekent f(x)\in f[A].
Welnu, als a\in A dan, per definitie, f(a)\in f[A], en dus, per definitie, a\in f^{-1}[f[A]].
Conclusie: voor alle a\in A geldt a\in f^{-1}[f[A]], ofwel A\subset f^{-1}[f[A]].

kphart
27-1-2024