WisFaq!

Functies

Begrijp ik niet:

stel f:X $\to $ X, A $\subset $ X, dan
A $\subset $ f^-1(f(A))

Voorbeeld:
A={1,2,4,7}
f(A) = {2,4}
f^-1(f(A))={1,2}

A is hier toch geen deelverzameling van, maar omvat f^-1(f(A))={1,2}

Geys Fons
27-1-2024

Antwoord

Je voorbeeld zegt niets want je geeft niet aan wat $X$ is en wat de werking van de afbeelding $f:X\to X$ is.
Maak maar een $X$ en een $f:X\to X$ met $A=\{1,2,4,7\}\subset X$ en zo dat $f[A]=\{2,3\}$ en ook nog zo dat $f^{-1}[f[A]]=\{1,2\}$. Het zal je niet lukken, want $\dots$

Als je naar de definities kijkt wordt duidelijk dat de inclusie wel degelijk geldt.
Eerst de definities:

• $f[A]=\{f(a):a\in A\}$
  
• $f^{-1}[B]=\{x:f(x)\in B\}$
  

Dus $x\in f^{-1}[f[A]]$ betekent $f(x)\in f[A]$.
Welnu, als $a\in A$ dan, per definitie, $f(a)\in f[A]$, en dus, per definitie, $a\in f^{-1}[f[A]]$.
Conclusie: voor alle $a\in A$ geldt $a\in f^{-1}[f[A]]$, ofwel $A\subset f^{-1}[f[A]]$.

kphart
27-1-2024