WisFaq!

Kettingregel

Een bolvormig ballon wordt opgeblazen. Wanneer de straal gelijk is aan r=5cm, neemt de straal van de ballon toe met 0,2cm/s. Wat is de volume-verandering op dat moment? Het antwoord is 63cm³/s. Er staat een tussenstap in mijn cursus maar ik snap die helaas niet, maar het gaat als volgt: dV.dr
De formule voor volume is: V = 4/3$\pi$r³

G
3-1-2024

Antwoord

Vermoedelijk staat er iets anders, maar niet alle boeken hanteren dezelfde notatie, dus ik moet even gokken hoe je boek zou willen dat je het opschrijft.

Het algemene idee is dat de afgeleide van een functie in een punt, voor kleine $h$, nagenoeg gelijk is aan het differentiequotiënt:
$$f'(a)\approx\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
$$dat kun je ook schrijven als $f(a+h)-f(a)\approx f'(a)\cdot h$.

Sommige mensen gebruiken de $d$- en $\Delta$-notatie: $h=\Delta x$, $f(a+h)-f(a)=\Delta f$, en $f'(a)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$, ofwel $\mathrm{d}f=f'(a)\cdot\mathrm{d}x$.
In dat laatste vervangt men $\mathrm{d}$ door $\Delta$, en $=$ door $\approx$, dan komt er wat we al eerder zagen: $\Delta f\approx f'(a)\cdot\Delta x$.

In je som is $V$ een functie van $r$ en de vraag is $\Delta V$ te benaderen als $\Delta r=0{,}2$, en $a=5$. Er geldt $V'(r)=4\pi r^2$, dus $\Delta V\approx 4\pi5^2\cdot\Delta r$. Nu nog $\Delta r=0{,}2$ invullen:
$$\Delta V\approx 4\cdot\pi\cdot25\cdot0{,}2=20\pi\approx 63
$$

Zie Wikipedia: Linearization [https://en.wikipedia.org/wiki/Linearization]

kphart
3-1-2024