WisFaq!

Cauchy-reeksen

Een rij is Cauchy als $\forall \varepsilon \in \mathbf{Q}$ en $\varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$: $n,m > N \Rightarrow d(x_n-x_m) < \varepsilon $

Voorbeeld:
$f: \mathbf{N} \to \mathbf{R}$ gegeven door
$f:n \mapsto \frac1n$

Bij de oplossing bepaalt men de $d(0,1/N) < \varepsilon $ , maar dat staat toch niet in de definitie van een Cauchy reek? Begrijp ik niet!

Geys Fons
20-12-2023

Antwoord

Daar gaat iets aan vooraf of er komt nog iets na: als $m < n$ dan geldt $d(\frac1m,\frac1n) < d(\frac1m,0)$ omdat $\frac1n$ tussen $0$ en $\frac1m$ ligt.
Met die $N$ waarvoor $d(0,\frac1N) < \varepsilon$ ben je dan klaar want voor $n, m > N$ geldt dan
$$d\left(\frac1n,\frac1m\right) < d\left(0,\frac1N\right) < \varepsilon
$$Je gebruikt hier dus wat extra informatie over de rij om je doel te bereiken: vanaf $N$ liggen de termen dicht bij $0$ en dus ook dicht bij elkaar.

kphart
21-12-2023