WisFaq!

Differentiëren van bijzondere machten

Geachte,
Kunt u mij helpen bij het volgende probleem: ik weet niet hoe je moet differentiëren als het grondtal een functie van x is en de exponent is ook een functie van x.
Bijvoorbeeld: het grondtal=cos(3x) en de exponent is bijvoorbeeld een logfunctie of een andere willekeurige functie...
Kunt u een paar voorbeelden geven hoe je dit aanpakt?

Bij voorbaat hartelijk dank.
Katrijn

Katrijn
1-11-2023

Antwoord

Je kunt in dat geval het best de uitdrukking $f(x)^{g(x)}$ herschrijven:
$$f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln(f(x))}
$$want dan kun je de kettingregel gebruiken en de eigenschappen van de $e$-macht en de natuurlijke logaritme.
Om makkelijk te beginnen, via $x^x=e^{x\ln x}$ vinden we
$$(x^x)'=(e^{x\ln x})'=e^{x\ln x}\cdot(x\ln x)'=e^{x\ln x}\cdot\left(1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x\right)
$$en dat wordt dan $x^x\cdot(1+\ln x)$.
Of $\bigl((\cos(3x))^{\sin x}\bigr)'$:
$$\bigl(e^{\sin(x)\cdot\ln(\cos(3x))}\bigr)'=e^{\sin(x)\cdot\ln(\cos(3x))}\cdot\left(\cos(x)\cdot\ln(\cos(3x))+\sin(x)\cdot\frac1{\cos(3x)}\cdot-3\sin(3x)\right)$$en dat kun je opknappen tot
$$(\cos(3x))^{\sin x}\cdot\left(\cos(x)\cdot\ln(\cos(3x))-3\frac{\sin(x)\sin(3x)}{\cos(3x)}\right)
$$Probeer zelf maar eens door netjes uitwerken een formule voor $(f(x)^{g(x)})'$ te maken.

kphart
2-11-2023