WisFaq!

Canonieke vergelijking ellips bepalen mbv brandpunt en raaklijn

Beste

Ik weet niet goed hoe ik deze oefening moet oplossen:
Bepaal de canonieke vergelijking van de ellips e waarvoor F(2,0) een brandpunt is en r $\leftrightarrow$ x + y - 4 = 0 een raaklijn aan e is.

Ik had al 1 berekening gedaan, maar zit daarna vast:
2 = c $\leftrightarrow$ 4 = a²-b² $\leftrightarrow$ a² = 4 + b²

Dus e $\leftrightarrow$ (x² / 4 + b²) + (y² / b²) =1
Ik weet niet hoe ik de b kan wegwerken.

Kan iemand hierbij helpen?

Met vriendelijke groeten

Anneleen
22-10-2023

Antwoord

Hallo Anneleen,

Je zou een punt kunnen zoeken dat op de ellips ligt. Natuurlijk weet je dat het tweede brandpunt F'(-2,0) moet zijn.

Stel nu dat P het raakpunt is van e en r. Dan weten we dat r gelijke hoeken maakt met FP en F'P. Of anders gezegd, het spiegelbeeld van F' in r ligt op FP (en vice versa).

Het spiegelbeeld van F' in r kunnen we eenvoudig vinden: is Q(4,6). De lijn FQ is nu gegeven door $3x-y-6=0$. Snijden we die met $x+y-4=0$ dan vinden we dat P coördinaten $(2\frac 12, 1\frac 12)$ heeft. Vul je die coördinaten in bij de formule die je voor e had, dan kun je $b^2$ berekenen.

Succes.

FvL
23-10-2023