WisFaq!

Asymptoten

beste, ik had deze vraag op een examen maar ik weet niet zo goed wat de VA en SA zijn van deze functie:

f(x)=(2x+ $\sqrt{}$ x²+3x)/(1- $\sqrt{}$ -x)

poled
25-8-2023

Antwoord

Ik heb moeite je functie goed te interpreteren: staat er
$$
f(x)=\frac{2x+\sqrt{x^2}+3x}{1-\sqrt{-x}}
$$
of
$$
f(x)=\frac{2x+\sqrt{x^2+3x}}{1-\sqrt{-x}}
$$
Hoe dan ook, er is wel wat te zeggen: wegens de $\sqrt{-x}$ moet in ieder geval $x\le0$ gelden. In dat geval geldt $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ en is de eerste functie dus gegeven door
$$
f(x)=\frac{4x}{1-\sqrt{-x}}
$$
Deze heeft een verticale asymptoot bij $x=-1$ (daar is de noemer gelijk aan nul, en de teller niet) en verder geen scheve asymptoot want er geldt
$$
\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{4\sqrt{-x}} = 1
$$
Dus de grafiek van $f$ lijkt op die van $4\sqrt{-x}$ en die heeft geen scheve asymptoot.

In het tweede geval moet ook nog $x^2+3x\ge0$ gelden en dat geldt voor $x\le-3$. Dus is er geen verticale asymptoot meer.
Er is nog steeds geen scheve asymptoot (nu lijkt $f$ sterk op $\sqrt{-x}$).

kphart
26-8-2023