WisFaq!

Re: Re: Re: Gemiddeld aantal successen bij dobbelsteen

Geweldig! Nu ben ik er bijna. Dit is voor één dobbelsteen. Hoe doe ik dat voor twee of meer dobbelstenen. Want slechts één zes is drie punten waard. Het maakt uiteraard niet uit in welke dobbelsteen deze zit. Alle andere zessen zijn gewoon 1 punt waard.

Lucas
1-6-2023

Antwoord

Hallo Lucas,

Bij het werpen van een aantal dobbelstenen is het principe hetzelfde: maak een tabel met alle mogelijke uitkomsten, bereken bij elke uitkomst de bijbehorende kans en het aantal gewonnen punten. Vermenigvuldig al deze kansen met het bijbehorende aantal punten, de som hiervan is het gemiddelde aantal punten per worp (ook wel verwachtingswaarde genoemd). Het maakt niet uit of je meerdere dobbelstenen tegelijk werpt, of meerdere keren met dezelfde dobbelsteen gooit.
Als voorbeeld reken ik voor hoe dit met 5 dobbelstenen gaat. Eerst even wat afspraken voor een eenvoudige notatie: 3 of minder ogen noem ik een lage worp (L), 4 of hoger noem ik een hoge worp (H). Geen 6 spreekt voor zich, met wel 6 bedoel ik: minstens één 6.

Met 5 dobbelstenen zijn dit de relevante mogelijke uitkomsten:
5xH, geen 6 (ofwel: alles 4 of 5). Aantal punten=5
5xH, wel 6: Aantal punten=5+2=7 (Het maakt niet uit hoeveel zessen er zijn, één 6 telt voor 3 punten)
1xL,4xH, geen 6. Aantal punten=4
1xL,4xH, wel 6. Aantal punten=6
2xL,3xH, geen 6. Aantal punten=3
2xL,3xH, wel 6. Aantal punten=5
3xL,2xH, geen 6. Aantal punten=2
3xL,2xH, wel 6. Aantal punten=4
4xL,1xH, geen 6. Aantal punten=1
4xL,1xH, wel 6. Aantal punten=3
5xL. Aantal punten=1

Nu de kansen:

P(5xH, geen 6)=(2/6)⁵=32/7776

P(5xH)=(3/6)⁵, dus P(5xH, wel 6)=(3/6)⁵-(2/6)⁵=211/7776

P(1xL,4xH,geen 6)=(3/6)·(2/6)⁴·5ncr₁=48/7776·5=240/7776
De factor 5ncr₁ is het aantal combinaties van 1 uit 5: het aantal manieren waarop je 1 lage worp over 5 dobbelstenen kan verdelen.

P(4xH)=(3/6)⁴, dus P(4xH, wel 6)=(3/6)⁴-(2/6)⁴=65/1296. Dan is P(1xL, 4xH, wel 6)=(3/6)· (65/1296)·(5ncr₁)=975/7776

P(2xL,3xH,geen 6)=(3/6)²·(2/6)³·5ncr₂=72/7776·10=720/7776

P(3xH)=(3/6)³, dus P(3xH, wel 6)=(3/6)³-(2/6)³=(19/216). Dan is P(2xL, 3xH, wel 6)=(3/6)²·(19/216)·10=(1710/7776)

P(3xL,2xH,geen 6)=(3/6)³·(2/6)²·5ncr₃=108/7776·10=1080/7776

P(2xH)=(3/6)², dus P(2xH, wel 6)=(3/6)²-(2/6)²=(5/36). Dan is P(3xL, 2xH, wel 6)=(3/6)³·(5/36)·10=1350/7776

P(4xL,1xH,geen 6)=(3/6)⁴·(2/6)·5ncr₄=162/7776·5=810/7776

P(1xH, wel 6)=¹/₆. Dan is P(4xL, 1xH, wel 6)=(3/6)⁴·¹/₆·5=405/7776

P(5xL)=(3/6)⁵=243/7776)

Als we deze kansen samenvatten, krijgen we de onderstaande tabel:



In de onderste regel zijn bij elke mogelijke uitkomst de kans en het aantal punten met elkaar vermenigvuldigd. De som hiervan (geheel rechts) is het gemiddelde aantal punten dat per worp met 5 dobbelstenen wordt behaald: 3,6962.

Voor een ander aantal dobbelstenen of een ander aantal punten voor de eerste 6 kan je de berekening op gelijksoortige wijze uitvoeren.

GHvD
2-6-2023