WisFaq!

Hoe bepaal ik van een stelsel vergelijkingen geen, een of oneindig aantal eleme

Geachte heer,
hoe bepaal ik van een stelsel vergelijkingen of die geen, een of oneindig aantal elementen heeft als oplossingsverzameling ?
Wat voor rol speelt een determinant hierbij ?
Dank u bijvoorbaat voor uw hulp,
Radjan.

Radjan
9-5-2023

Antwoord

In het algemeen schrijf je een stelsel als
$$
Ax=b
$$
met $A$ een $m\times n$-matrix, $x$ een (onbekende) vector in $\mathbb{R}^n$ en $b$ een (gegeven) vector in $\mathbb{R}^m$.

Als $m\neq n$ dan heb je niets aan determinanten want die zijn alleen voor vierkante matrices gedefinieerd.

Als $m=n$ dan heeft elk stelsel met $A$ als coëfficiëntenmatrix precies één oplossing als $\det A\neq 0$.

Als $m=n$ en $\det A=0$ dan kan het stelsel oneindig veel oplossingen hebben, als $b$ de nulvector is bijvoorbeeld, maar er zijn dan ook $b$'s waarvoor er geen oplossing is.

Een betere manier, die in de praktijk minder rekentijd kost, is de matrix reduceren door middel van rijoperaties. In je boek staat hoe je aan de hand van de resultaten van die operaties kunt zien hoeveel oplossingen het stelsel heeft.

kphart
12-5-2023