WisFaq!

Voorbeeld 1

Hoe ga je in de laatste stappen van de derde machtswortel van een imaginair getal naar de uitwerking daar van. Ik snap hoe je de 2de machtswortel trekt uit een imaginair getal. Maar de derde machtswortel is andere koek.

Bijvoorbaat dank.

Jeroen

• Voorbeeld 1

Jeroem Venneker
2-5-2023

Antwoord

In het algemeen kun je niets anders doen dan het volgende:
schrijf $a+bi=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$, met $r^2=a^2+b^2$, $\cos\alpha=\frac ar$ en $\sin\alpha=\frac br$. Die $\alpha$ is vrijwel nooit een `mooie' hoek dus je moet hem met behulp van de arctangens bepalen/benaderen.
Dan geldt
$$\sqrt[3]{a+bi}=\sqrt[3]{r}(\cos\tfrac13\alpha+i\sin\tfrac13\alpha)
$$Soms heb je geluk, zeker als de vergelijking handig in elkaar is gezet.
Als je goed kijkt zie je dat $-2$ een oplossing is van $x^3-5x-2=0$.
Met dat gegeven kun je die derdemachtswortel wel vinden.
Je wilt eigenlijk $-2$ schrijven als $u+v$ met $u^3=1+i\frac79\sqrt6$ en $v^3=1-i\frac79\sqrt6$ (werk de dingen in de derdemachtswortels maar uit.
Het ligt voor de hand dat $u$ en $v$ elkaars complex toegevoegde zijn, en als hun som gelijk aan $-2$ moet zijn kunnen we $u=-1+id$ en $v=-1-id$ proberen.
Als je $u^3$ uitschrijft en gelijk stelt aan $1+i\frac79\sqrt6$ komt er
$$(-1+3d^2)+id(3-d^2) = 1+i\frac79\sqrt6
$$dan vind je $d=\sqrt{\frac23}$ en dus $u=-1+i\sqrt{\frac23}$ en $v=-1-i\sqrt{\frac23}$.

De andere oplossingen van $u^3=1+i\frac79\sqrt6$ en $v^3=1-i\frac79\sqrt6$ krijg je door de gevonden $u$ en $v$ met $\omega=-\frac12+\frac i2\sqrt3$ en $\omega^2=-\frac12-\frac i2\sqrt3$ te vermenigvuldigen. ($\omega$ en $\omega^2$ zijn de andere oplossingen van $x^3=1$.) Immers $(u\omega)^3=u^3\omega^3=u^3$ en idem met $\omega^2$.

Om oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking te maken heb je nu veel mogelijkheden: $u+v\omega$, $u+v\omega^2$, ..., $u\omega^2+v\omega^2$ (nog acht stuks).
Maar $u^3v^3$ moet gelijk blijven aan $(1+i\frac79\sqrt6)(1-i\frac79\sqrt6)$; dus je kunt alleen $u\omega+v\omega^2$ en $u\omega^2+v\omega$ gebruiken.
Daarmee vind je dan $1+\sqrt2$ en $1-\sqrt2$ als oplossingen van de gegeven vergelijking.

kphart
2-5-2023