WisFaq!

Hyperbool

Door een willekeurig punt P van een hyperbool trekt men een loodlijn op de hoofdas. Deze rechte snijdt de asymptoot x a b y= in het punt Q. Toon aan dat de loodlijn l in Q op de asymptoot, de normaal in P aan de hyperbool en de hoofdas concurrente rechten zijn.

Celia Maeyens
5-2-2023

Antwoord

Laten we naar de hyperbool $x^2-y^2=1$ kijken.
Het punt $P$ heeft coördinaten $(p,\sqrt{p^2-1})$, en $Q$ heeft coördinaten $(p,p)$ (we kijken in het eerste kwadrant). De lijn $l$ heeft vergelijking $x+y=2p$. Je kunt de raaklijn in $P$ aan de hyperbool maken met behulp van de afgeleide van $\sqrt{x^2-1}$; de richtingscoëfficiënt is $p/\sqrt{p^2-1}$. De loodlijn heeft dan richtingscoëfficiënt $-\frac1p\sqrt{p^2-1}$ en de vergelijking is dan $x\sqrt{p^2-1}+py=2p\sqrt{p^2-1}$.
Nu kun je narekenen dat die twee lijnen door het punt $(2p,0)$ op de $x$-as gaan.

Probeer het nu zelf voor de algemene hyperbool
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
$$

kphart
5-2-2023