WisFaq!

Kan een lijn segment boven een ander uitkomen

Gegeven zijn twee lijn segmenten $A$ en $B$ in $\mathbf{R}^n$. Men weet de coordinaten van de uiteinden van de lijnsegmenten. Gevraagd is om te bepalen of lijn segment $A$ een punt $a$ bevat dat strikt groter is in alle coordinaten dan een punt $b$ op lijn segment $B$. Dus bestaan er $a, b$ zodanig dat $a_i $>$ b_i$ voor alle $1 \leq i \leq n$.

Nu had ik zelf het idee om de gradient van $A$ en de gradient van $B$ te berekenen en dan stapsgewijs te controleren of de richtinscoefficient van de ene gradient hoger ligt dan de ander. Maar ik denk dat dit nodeloos ingewikkeld is en we zitten ook nog met het feit dat de lijn segmenten niet op elke coördinaat hetzelfde domein hebben. Is hier een betere manier voor?

Arjen
22-12-2022

Antwoord

Een punt op een lijnsegment $[p,q]$ is te schrijven als $s\cdot p+(1-s)\cdot q$, met $s\in[0,1]$.
Dus als $A=[a,b]$ en $B=[c,d]$ zoek je $s$ en $t$ in het interval $[0,1]$ zó dat
$$s\cdot a_i+(1-s)\cdot b_i < t\cdot c_i+(1-t)\cdot d_i
$$voor elke $i$.
Elke ongelijkheid bepaalt een halfvlak in het $st$-vlak; je moet dus bepalen of die halfvlakken samen het vierkant $[0,1]\times[0,1]$ snijden.

Ik zou het eerst eens voor lijnstukken in $\mathbb{R}^2$ of $\mathbb{R}^3$ proberen (twee of drie ongelijkheden).

kphart
23-12-2022