WisFaq!

Gewone integralen oplossen met dubbele integralen

Beste

Ik wil dus die opgave oplossen mbv dubbele integralen (enkel eerste en tweede regel van fubini), maar het lijkt me onmogelijk

integraal van [(e^-x - e^-2x)/x]dx met grenzen nul en + oneindig

ik had geprobeerd om een verband te vinden tussen oppervlakte en volume ...

Alvast bedankt

x
28-10-2022

Antwoord

Ik zie niet zo snel hoe je hier een makkelijke functie van twee variabelen val kunt maken.
Wat wel werkt is de regel van Leibniz over differentiëren onder het integraalteken:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_0^\infty\frac{e^{-x}-e^{-tx}}x\,\mathrm{d}x
=\int_0^\infty\frac{\partial}{\partial t}\frac{e^{-x}-e^{-tx}}x\,\mathrm{d}x
=\int_0^\infty e^{-tx}\,\mathrm{d}x =\frac1t
$$Dat dit geoorlooft is is met enige moeite aan te tonen.
Dus de integraal is gelijk aan $\ln t +C$ voor een of andere constante. Voor $t=0$ is de integraal gelijk aan nul, dus
$$\int_0^\infty\frac{e^{-x}-e^{-tx}}x\,\mathrm{d}x = \ln t
$$Vul nu $t=2$ in.

kphart
30-10-2022