WisFaq!

Afgeleide bepalen mbv limiet

In een uitwerking om mbv de limiet de afgeleide te bepalen van e^x zit een stukje dat ik niet begrijp, nl:

limiet(h$\to$ 0) van ((e^h-1)/h)=1

Ik begrijp niet waarom uit deze limiet 1 komt. Als h nadert naar nul, dan krijg je toch e^h=1, maar in de teller 1-1 = 0, dus de uitkomst 1 begrijp ik niet.

Alvast dank voor het helpen.

Floor Zwart
7-9-2022

Antwoord

Deze limiet is een $\frac00$-geval: de noemer gaat ook naar $0$.
Het hangt een beetje van de gegeven definitie van $e^x$ af hoe je dit aanpakt.
Een van de definities levert de volgende ongelijkheden voor $e^x$ in de buurt van $0$:
$$1+x\le e^x\le \frac1{1-x}
$$Als je nu kijkt naar $(e^h-1)/h$ dan krijg je, via $\frac1{1-x}-1=\frac x{1-x}$,
$$1\le \frac{e^h-1}h \le \frac1{1-h}
$$no kun je de insluitstelling gebruiken.

kphart
8-9-2022