WisFaq!

Afgeleide bepalen mbv limiet

In een uitwerking om mbv de limiet de afgeleide te bepalen van e^x zit een stukje dat ik niet begrijp, nl:

limiet(h\to 0) van ((e^h-1)/h)=1

Ik begrijp niet waarom uit deze limiet 1 komt. Als h nadert naar nul, dan krijg je toch e^h=1, maar in de teller 1-1 = 0, dus de uitkomst 1 begrijp ik niet.

Alvast dank voor het helpen.

Floor Zwart
7-9-2022

Antwoord

Deze limiet is een \frac00-geval: de noemer gaat ook naar 0.
Het hangt een beetje van de gegeven definitie van e^x af hoe je dit aanpakt.
Een van de definities levert de volgende ongelijkheden voor e^x in de buurt van 0:

1+x\le e^x\le \frac1{1-x}

Als je nu kijkt naar (e^h-1)/h dan krijg je, via \frac1{1-x}-1=\frac x{1-x},

1\le \frac{e^h-1}h \le \frac1{1-h}

no kun je de insluitstelling gebruiken.

kphart
8-9-2022