WisFaq!

Vergelijking van een bol vinden

Hallo, weet iemand hoe ik de vergelijk van de bol kan vinden:
de bol gaat door de punten A(1,1,0) en B (3,1,-2) en C (-3,3,-4).
Hiermee zou ik al drie vergelijkingen kunnen opstellen, maar ik heb vier onbekenden. (a,b,c,d)

Bv: B $\leftrightarrow$ 1² + 1² + 0 + 2·1·a + 2·b·1 + 2·c·0 +d = 0
Verder weten we ook nog dat het middelpunt van de bol door het vlak alfa gaat met als vergelijking: alfa $\leftrightarrow$ 3x-y-z+3=0
Kan iemand me helpen bij het vinden van de vergelijking?

leerling uit het zesde jaar
18-6-2022

Antwoord

Als je een bol door die drie punten wilt maken dan heb je oneindig veel mogelijkheden; je krijgt inderdaad drie vergelijkingen met vier onbekenden:
$$(1-a)^2+(1-b)^2+(0-c)^2=d^2
$$en
$$(3-a)^2+(1-b)^2+(-2-c)^2=d^2
$$en
$$(-3-a)^2+(3-b)^2+(-4-c)^2=d^2
$$Als je de eerste van de tweede en van de derde aftrekt krijg je twee vergelijkingen van vlakken, en het middelpunt $(a,b,c)$ ligt op de snijlijn daarvan.

Maar $(a,b,c)$ moet ook op het vlak $\alpha$ liggen; dat geeft je dus drie vergelijkingen voor de drie onbekenden $a$, $b$, en $c$.
Los die maar op, dan heb je het middelpunt van de bol.

kphart
18-6-2022