WisFaq!

Regelmatige vijfhoek

De formule in verband met de zijde van de regelmatige vijfhoek en de straal van diens omschreven cirkel is z= r/2 √(10-2√5) met z als zijde van de regelmatige vijfhoek en r als straal van de omschreven cirkel.
Ik vraag me nou af, hoe bekom je deze formule? Wat is de redenering, hoe ga je te werk, hoe vind je dit?

Alvast bedankt!

Pieter-Jan De Bruyne
29-5-2022

Antwoord

In de halve driehoek van elk van de driehoeken van de vijfhoek geldt:

$
\eqalign{
& \sin \left( {36^\circ } \right) = \frac{{\frac{1}
{2}z}}
{r} \cr
& \frac{1}
{2}z = r \cdot \sin \left( {36^\circ } \right) \cr
& z = 2r \cdot \sin \left( {36^\circ } \right) \cr}
$

Dan ben je er al bijna. Vooral als je weet dat:

$
\eqalign{\sin (36^\circ ) = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}
{4}}
$

Je krijgt:

$
\eqalign{
& z = 2r \cdot \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}
{4} \cr
& z = \frac{r}
{2} \cdot \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } \cr}
$

Helpt dat?

Zie De exacte waarde van sin(36°) [http://wiskundeleraar.blogspot.com/2022/05/sin36.html]

WvR
29-5-2022