WisFaq!

Pincodes

hallo, ik ben bezig met een p.o. voor wiskunde maar kom er niet echt uit .. mischien kunnen jullie mij helpen?
kansberekenen van pincodes die uit 4 cijfers moeten bestaan .. en je de getallen 0 t/m 9 mag gebruiken .. het mogen ook allemaal dezelfde getallen zijn in een pincode ..

-nou wil ik graag weten hoe je moet berekenen
n hoeveel pincodes er mogelijk zijn ?
-hoeveel pincodes er zijn die bestaan uit 4 verschillende cijfers?
-hoeveel pincodes er mogelijk zijn waarbij de cijfers oplopen? (bijvoorbeeld 1349)
-hoeveel pincodes er zijn waarbij elk cijfer groter of gelijk is aan het volgende cijfer? (bijvoorbeeld 1379, 2267)
-en hoeveel pincodes er mogelijk zijn bij de volgende groepen : - 4 verschillende cijfers.
- 4 dezelfde cijfers.
- 2 dezelfde en 2 verschillende cijfers.
- 3 dezelfde en een verschillende.
ik hoop dat jullie mij kunnen helpen voor donderdag .. het is snel .. maar hopelijklukt het jullie .. HArtelijk bedankt als het lukt!! groetjes mij

debbie
7-4-2003

Antwoord

Hallo Debbie!

Een hele hoop vragen, maar de meeste kunnen nogal kort opgelost worden, dus hier gaan we.
1. Aantal mogelijkheden: 10 per digit, dus 10⁴ = 10000. (Logisch: alle gehele getallen van 0000 tot 9999)
2. Vier verschillende cijfers: voor het cijfer van de duizendtallen heb je tien keuzes: nul tot negen. Voor het volgende heb je er nog negen (dezelfde tien min datgene dat je net gekozen had), dan nog acht, dan nog zeven. Dus zijn er 10*9*8*7 mogelijk, zijnde 5040.
3. Oplopende, verschillende cijfers: je merkt dat in het vorige resultaat elke oplossing bestaat uit vier verschillende cijfers. Nu kan je die vier cijfers op 4! = 24 manieren ordenen, vb. {1,2,3,4} geeft 1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,... Dus zijn er 5040/24 = 210 oplopende oplossingen.
4. Oplopende of gelijke cijferreeks: die lijkt me het moeilijkste... Natuurlijk de 210 uit punt 3, daarnaast ook nog de {a,a,b,c}, de {a,a,b,b}, de {a,a,a,b} en de {a,a,a,a}.
4.a. Vorm {a,a,b,c}: 10 keuzes voor a, "9 boven 2" keuzes voor b en c (ik bekijk verzamelingen, dus de volgorde speelt geen rol). Dit geeft dus 360 zulke verzamelingen, waarvan er telkens één in de goede volgorde staat, vb {5,5,3,7} kan alleen 3557 worden.
4.b. Vorm {a,a,b,b}: 10 boven 2 is 45 mogelijke verzamelingen, dus ook 45 goede pincodes.
4.c. Vorm {a,a,a,b} (dit betekent dus aaab als ab en baaa als ab): 10 keuzes voor a, 9 voor b geeft 90 goede pincodes.
4.d. Vorm {a,a,a,a}: 10.
Samen: 715.
5. Vier verschillende: hadden we dat al niet eens gehad?
6. Vier dezelfde: dat zou zelf moeten lukken, zeker als je 4.d. hierboven ziet.
7. Het aantal verzamelingen {a,a,b,c} was 360. Die kan je op 4!/2! manieren ordenen, dus dit geeft 360*12 = 4320 codes.
8. Het aantal verzamelingen {a,a,a,b} was 90, die je telkens op vier manieren kan ordenen, dus 360.

NB 5 tot 8 zijn alle klassen van mogelijkheden, op {a,a,b,b} na. Zo waren er 45, te ordenen op 6 manieren, dus 270 codes, en samen met gevallen 5 tot 8 geeft dit exact 10000 codes, dus dat is altijd gezellig.

Groeten,

Christophe
7-4-2003