WisFaq!

Oplossen van een vierdegraads vergelijking

Als je nu de volgende vergelijking hebt:
3x⁴ - 13x³ + 16x² - 13x + 3=0

Dan zie je natuurlijk dat dat deelbaar is door (x-3)
Waaruit dan volgt:

(x-3)(3x³ - 4x² +4x -1) = 0

Maar hoe moet je dan verder? Het is niet deelbaar door (x-1) , (x+1) en ook niet door 0. Wat moet je dan doen om het toch nog verder uit te werken? Of heb ik gewoon ergens anders een fout gemaakt?

iep iep
7-4-2003

Antwoord

Het gaat er dus om dat je van het gedeelte
3x³-4x²+4x-1 (is volgens mij inderdaad goed) bepaalt welke nulpunten het heeft.

Het is een 3e-graadsfunctie.
Neem je hier de afgeleide van (=9x²-8x+4) en stel je deze gelijk aan nul, dan zul je zien dat de afgeleide geen nulpunten heeft.
dit BETEKENT dat onze 3e-graadsfunctie geen toppen/maxima heeft.
Aangezien een 3e-graadsfunctie altijd een bereik van
-¥ naar +¥ heeft, zal die dus slechts 1 keer door de x-as gaan.
(niet twee keer of vaker, want dan heeft ie namelijk toppen nodig om vandaaruit terug te 'duiken'. en we hadden net gezien dat ie geen toppen heeft)
Hij gaat dus 1 keer door de nul.
voor x=0 is de bijbehorende waarde van de 3e-graads functie gelijk aan -1.
En voor x=1 gelijk aan +2
Dus **ergens** tussen x=0 en x=1 is de 3e-gr f. gelijk aan nul geweest.
Maar waar dat precies was, kan niet exact berekend worden.

(soms heb je bij 3egr f. het 'geluk' dat je de oplossing gelijk ziet, een mooi getal zegmaar, OF je ziet het niet en je moet het benaderen mbv computer of rekenmachine. Maar dan heb je geen exact antwoord)

groeten,
martijn

mg
7-4-2003