WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Convergentie vraagstuk

Bij de reeks n²·sin(n^-3)·ln(((n+1)/n)¹/3)
zat ik echt vast. Uiteindelijk heb ik hem gevonden.
Zou u mijn aanpak hier willen controleren.

Ik heb eerst de verhoudingstest gebruikt. maar leidde niet tot een resultaat.
dan ben ik overgestapt op de test van raabe en dan kwam ik er wel.

Volgens mij is mijn berekening te lang

Mike
16-4-2022

Antwoord

Uit wat op je foto staat kan ik geen wijs worden. Ik zie niet waar de cosinussen bovenaan vandaan komen, en de onderste regel gaat wel erg snel ik zie niet hoe je op die `equivalente' breuk uitkomt.
En ik zie ook de uitdrukking voor de test van Raabe niet.

Het kan wat efficiënter: we hebben
$$a_n=n^2\cdot\sin(n^{-3})\cdot\ln\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac13}\right)
$$Daar kunnen we dit van maken:
$$\frac1n\cdot\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}\cdot\frac13\ln\left(1+\frac1n\right)=
\frac13\frac1n\cdot\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}\cdot\frac1n\frac{\ln\left(1+n^{-1}\right)}{n^{-1}}
$$Omdat $\lim_n\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}=1$ en $\lim_n\frac{\ln\left(1+n^{-1}\right)}{n^{-1}}=1$ volgt nu dat
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\frac1{3n^2}}=1
$$De reeks convergeert dus.

Op mijn kladpapier deed ik het volgende: $\sin(n^{-3})\sim n^{-3}$, en
$\frac13\ln(1+\frac1n)\sim\frac1{3n}$ en dus
$$a_n\sim n^2\cdot n^{-3}\cdot\frac1{3n}\sim\frac1{3n^2}
$$en toen heb ik netjes de limiet uitgerekend.

Naschrift: de beheerder heeft de andere afbeeldingen gevonden en ik kan kort zijn: je beide redeneringen kloppen niet.

kphart
16-4-2022